已知雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，左準(zhǔn)線為l，試問：能否在雙曲線的左支上找到一點(diǎn)P，使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項(xiàng)？并說明理由.

思路解析：解題方法相當(dāng)于反證法，假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在，則由條件出發(fā)，或求出點(diǎn)P，或?qū)С鲇瓒�，最后得出結(jié)論.雙曲線左分支上的點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離的最小值是c-a，到右焦點(diǎn)F2距離的最小值是c+a.

解法一：如上圖所示，假設(shè)雙曲線左支上存在一點(diǎn)P（x0,y0），使得=成立.

由第二定義，=e,∴|PF2|=e|PF1|.

由焦半徑公式,得e(-x0)=e·e(--x0),

即a-ex0=e(-a-ex0)，解得x0=.

∵a=5,b=12,∴c=13,e=.代入計(jì)算得x0=-.

∵點(diǎn)P在雙曲線的左支上，∴x0≤-a=-5.但-＞-5.

∴滿足條件的點(diǎn)P不存在.

解法二：由解法一得|PF2|=e|PF1|，                                              ①

又由雙曲線的定義，有|PF2|-|PF1|=2a.                                           ②

消去|PF2|得|PF1|==.

∵P在雙曲線的左支上，

∴|PF1|≥c-a=13-5=8.

但是＜8,∴滿足條件的點(diǎn)P不存在.

解法三：由解法二中的①、②兩式聯(lián)立,解得|PF1|==,|PF2|==.

∴|PF1|+|PF2|=.

但|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=26,

∵＜26,∴滿足條件的點(diǎn)P不存在.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線-=1的左焦點(diǎn)為F1,左,右頂點(diǎn)為A1,A2,P為雙曲線上任意一點(diǎn),則分別以線段PF1,A1A2為直徑的兩個(gè)圓的位置關(guān)系為

A.相交           B.相切           C.相離              D.以上情況都有可能

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線=1的左焦點(diǎn)為F1，左、右頂點(diǎn)為A1、A2，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則分別以線段PF1、A1A2為直徑的兩個(gè)圓的位置關(guān)系為（    ）

A.相交          B.相切              C.相離              D.以上情況都有可能

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線=1的左支上有一點(diǎn)M，右焦點(diǎn)為F,N是MF的中點(diǎn)，且|ON|=4，則M到右準(zhǔn)線的距離為 (    )

A.18                 B．              C．           D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，|OP|=，|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比數(shù)列，求最小的自然數(shù)b的值.

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