【題目】

如圖所示的空間幾何體,平面ACD⊥平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE和平面ABC所成的角為.且點E在平面ABC上的射影落在的平分線上.

1)求證:DE//平面ABC

2)求二面角E—BC—A的余弦;

3)求多面體ABCDE的體積.

【答案】(1)見解析;(2);(3)

【解析】

1)證明線面平行,需要證明直線平行面內(nèi)的一條直線即可.
2)利用三垂線定理作出二面角的平面角即可求解.
3)求多面體ABCDE的體積,轉(zhuǎn)化兩個三棱錐的體積之和,分別求解

(1)由題意知,△ABC,△ACD都是邊長為2的等邊三角形,

AC中點O,連接BO,DO

BOAC,DOAC∵平面ACD⊥平面ABC

DO⊥平面ABC,作EF⊥平面ABC,

那么EFDO,根據(jù)題意,點F落在BO上,

∴∠EBF=60,易求得EF=DO=

所以四邊形DEFO是平行四邊形,DEOF;DE平面ABC,OF平面ABC,DE∥平面ABC

(2)

FGBC,垂足為G,連接EG;

EF⊥平面ABC,根據(jù)三垂線定理可知,EGBC

∴∠EGF就是二面角EBCA的平面角,

,

即二面角EBCA的余弦值為.

(3)∵平面ACD⊥平面ABC,OBACOB⊥平面ACD

又∵DEOBDE⊥平面DAC,

三棱錐EDAC的體積

又三棱錐EABC的體積

∴多面體DEABC的體積為.

練習(xí)冊系列答案
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