【題目】已知三棱錐的體積為1.在側(cè)棱上取一點(diǎn),使,然后在上取一點(diǎn),使,繼續(xù)在上取一點(diǎn),使,……按上述步驟,依次得到點(diǎn),記三棱錐的體積依次構(gòu)成數(shù)列,數(shù)列的前項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)記,為數(shù)列的前項(xiàng)和,若不等式對(duì)一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1).;(2).
【解析】
(1)由三棱錐的體積公式可得是等比數(shù)列,從而可求得其通項(xiàng)公式,利用可求得,但要注意;
(2)用錯(cuò)位相減法求得,化簡(jiǎn)不等式,分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.
(1)由題意,∴,
三棱錐的體積就是三棱錐的體積,它們都以為底面,因此它們的體積比等于它們高的比,即到平面的距離之比,又都在直線上,
所以點(diǎn)到平面的距離之比就等于棱長(zhǎng)的比,
∴,,,
∴.
,則,
時(shí),,也適合.
∴.
(2)由(1),
,
,
兩式相減得:
,
∴.
不等式為,即,
設(shè),
則
,
∴當(dāng)時(shí),遞增,當(dāng),遞減,是中的最大項(xiàng),.
不等式對(duì)恒成立,
則,∴或.
故的范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來(lái)引發(fā)了社會(huì)的廣泛關(guān)注,受到了觀眾的普遍好評(píng).假設(shè)男性觀眾認(rèn)為《流浪地球》好看的概率為,女性觀眾認(rèn)為《流浪地球》好看的概率為.某機(jī)構(gòu)就《流浪地球》是否好看的問(wèn)題隨機(jī)采訪了4名觀眾.
(1)若這4名觀眾2男2女,求這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多的概率;
(2)若這4名觀眾都是男性,設(shè)X表示這4名觀眾中認(rèn)為《流浪地球》好看的人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分16分)對(duì)于函數(shù),如果存在實(shí)數(shù)使得,那么稱(chēng)為的生成函數(shù).
(1)下面給出兩組函數(shù),是否分別為的生成函數(shù)?并說(shuō)明理由;
第一組:;
第二組:;
(2)設(shè),生成函數(shù).若不等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為美化城市環(huán)境,相關(guān)部門(mén)需對(duì)一半圓形中心廣場(chǎng)進(jìn)行改造出新,為保障市民安全,施工隊(duì)對(duì)廣場(chǎng)進(jìn)行圍擋施工.如圖,圍擋經(jīng)過(guò)直徑的兩端點(diǎn)A,B及圓周上兩點(diǎn)C,D圍成一個(gè)多邊形ABPQR,其中AR,RQ,QP,PB分別與半圓相切于點(diǎn)A,D,C,B.已知該半圓半徑OA長(zhǎng)30米,∠COD為60°,設(shè)∠BOC為.
(1)求圍擋內(nèi)部四邊形OCQD的面積;
(2)為減少對(duì)市民出行的影響,圍擋部分面積要盡可能小.求該圍擋內(nèi)部多邊形ABPQR面積的最小值?并寫(xiě)出此時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的幫圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1),N.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,分別與橢圓C相交于異于M點(diǎn)的A,B兩點(diǎn),當(dāng)△AMB面積取得最大值時(shí),求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(用數(shù)字作答)從5本不同的故事書(shū)和4本不同的數(shù)學(xué)書(shū)中選出4本,送給4位同學(xué),每人1本,問(wèn):
(1)如果故事書(shū)和數(shù)學(xué)書(shū)各選2本,共有多少種不同的送法?
(2)如果故事書(shū)甲和數(shù)學(xué)書(shū)乙必須送出,共有多少種不同的送法?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái),來(lái)自“一帶一路”沿線的20國(guó)青年評(píng)選出了中國(guó)的“新四大發(fā)明”:高鐵、掃碼支付、共享單車(chē)和網(wǎng)購(gòu).其中共享單車(chē)既響應(yīng)綠色出行號(hào)召,節(jié)能減排,保護(hù)環(huán)境,又方便人們短距離出行,增強(qiáng)靈活性.某城市試投放3個(gè)品牌的共享單車(chē)分別為紅車(chē)、黃車(chē)、藍(lán)車(chē),三種車(chē)的計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)均為每15分鐘(不足15分鐘按15分鐘計(jì))1元,按每日累計(jì)時(shí)長(zhǎng)結(jié)算費(fèi)用,例如某人某日共使用了24分鐘,系統(tǒng)計(jì)時(shí)為30分鐘.A同學(xué)統(tǒng)計(jì)了他1個(gè)月(按30天計(jì))每天使用共享單車(chē)的時(shí)長(zhǎng)如莖葉圖所示,不考慮每月自然因素和社會(huì)因素的影響,用頻率近似代替概率.設(shè)A同學(xué)每天消費(fèi)元.
(1)求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)各品牌為推廣用戶使用,推出APP注冊(cè)會(huì)員的優(yōu)惠活動(dòng):紅車(chē)月功能使用費(fèi)8元,每天消費(fèi)打5折;黃車(chē)月功能使用費(fèi)20元,每天前15分鐘免費(fèi),之后消費(fèi)打8折;藍(lán)車(chē)月功能使用費(fèi)45元,每月使用22小時(shí)之內(nèi)免費(fèi),超出部分按每15分鐘1元計(jì)費(fèi).設(shè)分別為紅車(chē),黃車(chē),藍(lán)車(chē)的月消費(fèi),寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式,參考(1)的結(jié)果,A同學(xué)下個(gè)月選擇其中一個(gè)注冊(cè)會(huì)員,他選哪個(gè)費(fèi)用最低?
(3)該城市計(jì)劃3個(gè)品牌的共享單車(chē)共3000輛正式投入使用,為節(jié)約居民開(kāi)支,隨機(jī)調(diào)查了100名用戶一周的平均使用時(shí)長(zhǎng)如下表:
時(shí)長(zhǎng) | (0,15] | (15,30] | (30,45] | (45,60] |
人數(shù) | 16 | 45 | 34 | 5 |
在(2)的活動(dòng)條件下,每個(gè)品牌各應(yīng)該投放多少輛?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線,點(diǎn),設(shè)直線與交于不同的兩點(diǎn)、.
(1)若直線軸,求直線的斜率的取值范圍;
(2)若直線不垂直于軸,且,證明:直線過(guò)定點(diǎn).
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