Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分別在BC，AD上，EF∥AB.現(xiàn)將四邊形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.

（Ⅰ）若BE＝1，是否在折疊后的線段AD上存在一點P，且，使CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由；

（Ⅱ）求三棱錐A－CDF的體積的最大值，并求出此時二面角E－AC－F的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析:（1）過點P作MP∥FD交AF于點M，若MP=CE,則四邊形MPCE為平行四邊形，即有CP∥ME，也就得CP∥平面ABEF,因此由相似比可得λ的值，（2）由面面垂直性質(zhì)定理得AF⊥平面EFDC,所以AF為高,根據(jù)三棱錐體積公式以及基本不等式可得體積最大值;過E作EO⊥CF,則根據(jù)三垂線定理可得AO⊥CF,即∠AOE為二面角E－AC－F的平面角,最后通過解三角形得余弦值

試題解析：∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，FD⊥EF，

∴FD⊥平面ABEF，又AF平面ABEF，

∴FD⊥AF，

在折起過程中，AF⊥EF，又FD∩EF＝F，

∴AF⊥平面EFDC.

以F為原點，FE，FD，FA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

（I）解法一：若BE＝1，則各點坐標(biāo)如下：

F(0,0,0)，A(0,0,1)，D(0,5,0)，C(2,3,0)，

∴平面ABEF的法向量可為＝(0,5,0)，

∵＝λ，

∴－＝λ(－)，

∴＝＋＝ (0,0,1)＋ (0,5,0)＝，

∴P，

∴＝＝，

若CP∥平面ABEF，則必有⊥，即·＝0，

∵·＝·(0,5,0)＝·5＝0，

∴λ＝，

∴AD上存在一點P，且＝，使CP∥平面ABEF.

解法二：AD上存在一點P，使CP∥平面ABEF，此時λ＝.理由如下：

當(dāng)λ＝時，＝，可知＝，

過點P作MP∥FD交AF于點M，連接EM，PC，則有＝＝，

又BE＝1，可得FD＝5，故MP＝3，

又EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MP∥EC，故四邊形MPCE為平行四邊形，

∴CP∥ME，又CP平面ABEF，ME平面ABEF，

故有CP∥平面ABEF.

（II）設(shè)BEx(0<x≤4)，則AF＝x，FD＝6－x，

故V三棱錐A－CDF＝··2·(6－x)·x＝ (－x2＋6x)，

∴當(dāng)x＝3時，V三棱錐A－CDF有最大值，且最大值為3，

∴A(0,0,3)，D(0,3,0)，C(2,1,0)，E(2,0,0)，

∴＝(2,0，－3)，＝(2,1，－3)，＝(0,0,3)，＝(2,1,0)，

設(shè)平面ACE的法向量m＝(x1，y1，z1)，

則，即，

令x1＝3，則y1＝0，z1＝2，則m＝(3,0,2)．

設(shè)平面ACF的法向量n＝(x2，y2，z2)，

則，即，

令x2＝1，則y2＝－2，z2＝0，則n＝(1，－2,0)，

則cos〈m，n〉＝＝＝，

故二面角E－AC－F的余弦值為.