【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且Sn=2n﹣1.?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=2,bn+1﹣2bn=8an .
(1)求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)證明:數(shù)列{ }為等差數(shù)列,并求{bn}的通項公式.
(3)求{bn}的前n項和Tn .
【答案】
(1)解:當(dāng)n=1時,a1=S1=2﹣1=1;
當(dāng)n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1﹣(2n﹣1﹣1)=2n﹣1;
上式對n=1也成立.
則數(shù)列{an}的通項公式為an=2n﹣1;
(2)證明:bn+1﹣2bn=8an=82n﹣1=2n+2,
兩邊同除以2n+1,可得
﹣ =2,
可得數(shù)列{ }是首項為 =1,公差為2的等差數(shù)列;
即有 =1+2(n﹣1)=2n﹣1,
則{bn}的通項公式為bn=(2n﹣1)2n;
(3)解:{bn}的前n項和Tn=12+322+523+…+(2n﹣1)2n,
可得2Tn=122+323+524+…+(2n﹣1)2n+1,
兩式相減可得,﹣Tn=2+2(22+23+…+2n)﹣(2n﹣1)2n+1
=2+2 ﹣(2n﹣1)2n+1,
化簡可得Tn=6+(2n﹣3)2n+1.
【解析】(1)運(yùn)用當(dāng)n=1時,a1=S1;當(dāng)n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1 , 計算即可得到所求通項公式;(2)對bn+1﹣2bn=2n+2 , 兩邊同除以2n+1 , 由等差數(shù)列的定義和通項公式,即可得到所求;(3)運(yùn)用數(shù)列的求和方法:錯位相減法,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,化簡整理,即可得到所求和.
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x2﹣kx﹣4在區(qū)間[﹣2,4]上具有單調(diào)性,則k的取值范圍是( )
A.[﹣8,16]
B.(﹣∞,﹣8]∪[16,+∞)
C.(﹣∞,﹣8)∪(16,+∞)
D.[16,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《中國詩詞大會》是中央電視臺最近新推出的一檔有重大影響力的大型電視文化節(jié)目,今年兩會期間,教育部部長陳寶生答記者問時給予其高度評價;谶@樣的背景,山東某中學(xué)積極響應(yīng),也舉行了一次詩詞競賽。組委會在競賽后,從中抽取了100名選手的成績(百分制),作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計,作出了圖中的頻率分布直方圖,分析后將得分不低于60分的學(xué)生稱為“詩詞達(dá)人”,低于60分的學(xué)生稱為“詩詞待加強(qiáng)者”.
(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“詩詞達(dá)人”與性別有關(guān)?
詩詞待加強(qiáng)者 | 詩詞達(dá)人 | 合計 | |
男 | 15 | ||
女 | 45 | ||
合計 |
(Ⅱ)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校大量參與活動的學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中“詩詞達(dá)人”的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在銳角△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C所對的邊,且 =2csinA
(1)確定角C的大小;
(2)若c= ,且△ABC的面積為 ,求a+b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知半徑為5的圓的圓心在軸上,圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù),且與直線相切.
(1)求圓的方程;
(2)設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn),求實數(shù)的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,是否存在實數(shù),使得弦的垂直平分線過點(diǎn)?若存在,求出實數(shù)的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租時間不超過兩小時免費(fèi),超過兩個小時的部分每小時收費(fèi)2元(不足1小時的部分按1小時計算).有甲、乙兩人獨(dú)立來該租車點(diǎn)騎游(各組一車一次).設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為, ;兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為, ;兩人租車時間都不會超過四小時.
(1)求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率;
(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量,求的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分)的莖葉圖如圖,其中甲班學(xué)生成績的平均分是85,乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是89.
(1)求和的值;
(2)計算乙班7位學(xué)生成績的方差.
(3)從成績在90分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生,求乙班至少有一名學(xué)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,兩焦點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為, .
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)過定點(diǎn)的直線與雙曲線的左支有兩個交點(diǎn),與橢圓交于兩點(diǎn),與圓交于兩點(diǎn),若的面積為, ,求正數(shù)的值.
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