已知兩點(diǎn)M和N分別在直線y=mx和y=-mx(m>0)上運(yùn)動,且|MN|=2,動點(diǎn)p滿足:(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),點(diǎn)P的軌跡記為曲線C.
(I)求曲線C的方程,并討論曲線C的類型;
(Ⅱ)過點(diǎn)(0,1)作直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,若對于任意m>1,都有∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍.
【答案】分析:(I)根據(jù)題意可判斷出P是MN的中點(diǎn).設(shè)出P,M,N的坐標(biāo),根據(jù)題意聯(lián)立方程求得,然后對m>1,o<m<1和m=1對方程表示出曲線進(jìn)行分類討論.
(II)設(shè)出直線l的方程,與橢圓的方程聯(lián)立消去y,利用韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2,利用直線方程表示出y1y2,要使∠AOB為銳角,需,利用向量的基本運(yùn)算整理得,利用基本不等式求得進(jìn)而求得k的范圍.
解答:解:(I)由,得P是MN的中點(diǎn).
設(shè)P(x,y),M(x1,mx1),N(x2,-mx2)依題意得:

消去x1,x2,整理得
當(dāng)m>1時,方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓;
當(dāng)o<m<1時,方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;
當(dāng)m=1時,方程表示圓.
(II)由m>1,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,直線l與曲線c恒有兩交點(diǎn),
因為直線斜率不存在時不符合題意,
可設(shè)直線l的方程為y=kx+1,直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2).
⇒(m4+k2)x2+2kx+1-m2=0


要使∠AOB為銳角,則有
∴x1x2+y1y2=
即m4-(k2+1)m2+1>0,
可得,對于任意m>1恒成立.
,∴K2+1≤2,-1≤k≤1
所以滿足條件的k的取值范圍是[-1.1].
點(diǎn)評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.考查了學(xué)生知識的綜合運(yùn)用和分析問題的能力.
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已知兩點(diǎn)M和N分別在直線y=mx和y=-mx(m>0)上運(yùn)動,且|MN|=2,動點(diǎn)p滿足:2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),點(diǎn)P的軌跡記為曲線C.
(I)求曲線C的方程,并討論曲線C的類型;
(Ⅱ)過點(diǎn)(0,1)作直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,若對于任意m>1,都有∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍.

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OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),點(diǎn)P的軌跡記為曲線C.
(I)求曲線C的方程,并討論曲線C的類型;
(Ⅱ)過點(diǎn)(0,1)作直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,若對于任意m>1,都有∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍.

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(Ⅱ)過點(diǎn)(0,1)作直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,若對于任意m>1,都有∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍.

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(I)求曲線C的方程,并討論曲線C的類型;
(Ⅱ)過點(diǎn)(0,1)作直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,若對于任意m>1,都有∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍.

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(I)求曲線C的方程,并討論曲線C的類型;
(Ⅱ)過點(diǎn)(0,1)作直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,若對于任意m>1,都有∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍.

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