已知兩點M和N分別在直線y=mx和y=-mx(m>0)上運動,且|MN|=2,動點p滿足:2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點),點P的軌跡記為曲線C.
(I)求曲線C的方程,并討論曲線C的類型;
(Ⅱ)過點(0,1)作直線l與曲線C交于不同的兩點A、B,若對于任意m>1,都有∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍.
(I)由2
op
=
OM
+
ON
,得P是MN的中點.
設(shè)P(x,y),M(x1,mx1),N(x2,-mx2)依題意得:
x1+x2 =2x
mx1-mx2=2y
 (x1-x2)2+(mx1+mx2)2=4

消去x1,x2,整理得
x2
1
m2
+
y2
m2
=1

當(dāng)m>1時,方程表示焦點在y軸上的橢圓;
當(dāng)o<m<1時,方程表示焦點在x軸上的橢圓;
當(dāng)m=1時,方程表示圓.
(II)由m>1,焦點在y軸上的橢圓,直線l與曲線c恒有兩交點,
因為直線斜率不存在時不符合題意,
可設(shè)直線l的方程為y=kx+1,直線與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2).
y=kx+1
x2
1
m2
+
y2
m2
=1
?(m4+k2)x2+2kx+1-m2=0
x1+x2 =-
2k
m4+k2
,x1x2=-
1-m2
m4+k2

y1 y2=(kx1+1)(kx2+1)=
k2(1-m2)
m4+k2
+
2k2
m4+k2
+1

要使∠AOB為銳角,則有
OA
OB
>0

∴x1x2+y1y2=
m4-(k2+1)m2+1 
m4+k2
>0

即m4-(k2+1)m2+1>0,
可得m2+
1
m2
> K2 +1
,對于任意m>1恒成立.
m2+
1
m2
>2
,∴K2+1≤2,-1≤k≤1
所以滿足條件的k的取值范圍是[-1.1].
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩點M和N分別在直線y=mx和y=-mx(m>0)上運動,且|MN|=2,動點p滿足:2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點),點P的軌跡記為曲線C.
(I)求曲線C的方程,并討論曲線C的類型;
(Ⅱ)過點(0,1)作直線l與曲線C交于不同的兩點A、B,若對于任意m>1,都有∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009年上海市虹口區(qū)北郊高級中學(xué)數(shù)學(xué)押題試卷(文理合卷)(解析版) 題型:解答題

已知兩點M和N分別在直線y=mx和y=-mx(m>0)上運動,且|MN|=2,動點p滿足:(O為坐標(biāo)原點),點P的軌跡記為曲線C.
(I)求曲線C的方程,并討論曲線C的類型;
(Ⅱ)過點(0,1)作直線l與曲線C交于不同的兩點A、B,若對于任意m>1,都有∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年河北省邢臺市高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知兩點M和N分別在直線y=mx和y=-mx(m>0)上運動,且|MN|=2,動點p滿足:(O為坐標(biāo)原點),點P的軌跡記為曲線C.
(I)求曲線C的方程,并討論曲線C的類型;
(Ⅱ)過點(0,1)作直線l與曲線C交于不同的兩點A、B,若對于任意m>1,都有∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年上海市徐匯區(qū)高三(下)4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知兩點M和N分別在直線y=mx和y=-mx(m>0)上運動,且|MN|=2,動點p滿足:(O為坐標(biāo)原點),點P的軌跡記為曲線C.
(I)求曲線C的方程,并討論曲線C的類型;
(Ⅱ)過點(0,1)作直線l與曲線C交于不同的兩點A、B,若對于任意m>1,都有∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案