Question

比較2ⁿ與n²的大小(n∈N⁺)．

Answer 1

答案：
解析：

解析：當(dāng)n＝1時(shí)，21＞12， 　　當(dāng)n＝2時(shí)，22＝22，當(dāng)n＝3時(shí)，23＜32， 　　當(dāng)n＝4時(shí)，24＝42，當(dāng)n＝5時(shí)，25＞52， 　　猜想：當(dāng)n≥5時(shí)，2n＞n2 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　　(1)當(dāng)n＝5時(shí)，25＞52成立， 　　(2)假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥5)時(shí)2k＞k2， 　　那么2k+1＝2·2k＝2k＋2k＞k2＋(1＋1)k＞k2＋＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2． 　　∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2n＞n2． 　　由(1)(2)可知，對n≥5的一切自然數(shù)2n＞n2都成立． 　　綜上，得當(dāng)n＝1或n≥5時(shí)，2n＞n2；當(dāng)n＝2，4時(shí)，2n＝n2；當(dāng)n＝3時(shí)，2n＜n2．