Question

比較2ⁿ與n²的大小(n∈N^*).

Answer 1

思路分析：從特例入手，探求2ⁿ與n²的大小關(guān)系，也可從y=2^x與y=x²的圖象(x＞0)的變化趨勢(shì)，猜測(cè)2ⁿ與n²的大小.

解：當(dāng)n=1時(shí)，2¹＞1²,即2ⁿ＞n²,

當(dāng)n=2時(shí)，2²=2²,即2ⁿ=n²,

當(dāng)n=3時(shí)，2³＜3²,即2ⁿ＜n²,

當(dāng)n=4時(shí)，2⁴=4²，即2ⁿ=n²,

當(dāng)n=5時(shí)，2⁵＞5²,即2ⁿ＞n²,

當(dāng)n=6時(shí)，2⁶＞6²，即2ⁿ＞n²,

……

猜測(cè)：當(dāng)n≥5時(shí),2ⁿ＞n².

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測(cè)成立.

(1)當(dāng)n=5時(shí)，由上可知猜測(cè)成立.

(2)設(shè)n=k(k≥5)時(shí)，命題成立，即2^k＞k².

當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+1=2·2^k＞2k²=k²+k²＞k²+(2k+1)=(k+1)²,即n=k+1時(shí)命題成立.

由(1)和(2)，可得n≥5時(shí)，2ⁿ＞n².