【題目】已知函數(shù)f(x)=1﹣ ﹣lnx(a∈R).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)( ,f( ))處的切線方程;
(2)當(dāng)a≥0時(shí),記函數(shù)Γ(x)= ax2+(1﹣2a)x+ ﹣1+f(x),試求Γ(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)設(shè)函數(shù)h(a)=3λa﹣2a2(其中λ為常數(shù)),若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上不存在極值,求h(a)的最大值.

【答案】
(1)解:當(dāng)a=1時(shí), , ,

, ∴函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn) 的切線方程為: ,

即2x﹣y+ln2﹣2=0.


(2)解:∵ ,∴ (x>0), ,

①當(dāng)a=0時(shí), ,

及x>0可得:0<x≤1,∴Γ(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1]

②當(dāng)a>0時(shí), ,

由ax2﹣(2a﹣1)x﹣1=0可得:△=(2a﹣1)2+4a=4a2+1>0,

設(shè)其兩根為x1,x2,因?yàn)? ,所以x1,x2一正一負(fù),

設(shè)其正根為x2,則 ,

及x>0可得: ,∴Γ(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為


(3)解: ,由f'(x)=0x=a,

由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上不存在極值,所以a≤0或a≥2…(10分)對于h(a)=3λa﹣2a2,對稱軸

當(dāng) ,即λ≤0或 時(shí), ;

當(dāng) ,即 時(shí),h(a)max=h(0)=0;

當(dāng) ,即 時(shí),h(a)max=h(2)=6λ﹣8;

綜上可知:


【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),化簡函數(shù)的解析式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出斜率以及切點(diǎn)坐標(biāo),求解切線方程.(2)化簡函數(shù)Γ(x)= ﹣1+f(x)的解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過①當(dāng)a=0時(shí),②當(dāng)a>0時(shí),分別通過函數(shù)的極值點(diǎn),判斷函數(shù)的單調(diào)性.求出單調(diào)區(qū)間.(3)通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,求出極值點(diǎn),利用題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上不存在極值,求出a的范圍然后求解h(a)max值即可.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知三點(diǎn)A(1,﹣1),B(3,0),C(2,1),P為平面ABC上的一點(diǎn), ,且 =0, =3.
(1)求 ;
(2)求λ+μ 的值.

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【題目】(本小題滿分16分)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度,長度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米,且.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元,半球形部分每平方米建造費(fèi)用為)千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元.

1)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求該函數(shù)的定義域;

2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的

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【題目】下列命題中,真命題是(
A.x∈R,2x>x2
B.若a>b,c>d,則 a﹣c>b﹣d
C.x∈R,ex<0
D.ac2<bc2是a<b的充分不必要條件

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【題目】給出兩個(gè)命題:
命題甲:關(guān)于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2≤0的解集為;
命題乙:函數(shù)y=(2a2﹣a)x為增函數(shù).
(1)甲、乙至少有一個(gè)是真命題;
(2)甲、乙有且只有一個(gè)是真命題;
分別求出符合(1)(2)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】冶煉某種金屬可以用舊設(shè)備和改造后的新設(shè)備,為了檢驗(yàn)用這兩種設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中所含雜質(zhì)的關(guān)系,調(diào)查結(jié)果如下表所示:

分類

雜質(zhì)高

雜質(zhì)低

舊設(shè)備

37

121

新設(shè)備

22

202

根據(jù)以上數(shù)據(jù),則(  )

A. 含雜質(zhì)的高低與設(shè)備改造有關(guān)

B. 含雜質(zhì)的高低與設(shè)備改造無關(guān)

C. 設(shè)備是否改造決定含雜質(zhì)的高低

D. 以上答案都不對

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【題目】在某次試驗(yàn)中,兩個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)x,y的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下面的表格1所示.

x

1

2

3

4

5

y

2

3

4

4

5

表格1

(1)在給出的坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)x,y的散點(diǎn)圖.

(2)補(bǔ)全表格2,根據(jù)表格2中的數(shù)據(jù)和公式求下列問題.

①求出y關(guān)于x的回歸直線方程中的.

②估計(jì)當(dāng)x=10時(shí),的值是多少?

表格2

序號

x

y

x2

xy

1

1

2

1

2

2

2

3

4

6

3

3

4

9

12

4

4

4

16

16

5

5

5

25

25

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【題目】下列說法正確的是 ( )

A. x<1”“l(fā)og2(x+1)<1”的充分不必要條件

B. 命題x>0,2x>1”的否定是x0≤0,≤1”

C. 命題ab,則ac2bc2的逆命題是真命題

D. 命題a+b≠5,則a≠2b≠3”的逆否命題為真命題

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【題目】甲,乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,共比賽2n(n∈N+)局,根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知道,每局甲勝的概率和乙勝的概率均為 .如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人,則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為P(n).
(1)求P(2)與P(3)的值;
(2)試比較P(n)與P(n+1)的大小,并證明你的結(jié)論.

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