Question

如圖，正三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與底面ABC所成的二面角等于α，動(dòng)點(diǎn)P在側(cè)面SAB內(nèi)，PQ⊥底面ABC，垂足為Q，PQ=PS•sinα，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（ ）

A．線(xiàn)段
B．圓
C．一段圓弧
D．一段拋物線(xiàn)

Answer 1

【答案】分析：構(gòu)造一個(gè)直角三角形PRQ，使∠PRQ為側(cè)面SAB與底面ABC所成的二面角α，直角三角形PRQ中，sinα=，由已知得
sinα=，得到PS=PR，即點(diǎn)P到點(diǎn)S的距離等于點(diǎn)P到AB的距離，由拋物線(xiàn)的定義得出結(jié)論．
解答：解：如圖：過(guò)點(diǎn)P作AB得垂線(xiàn)段PR，連接RQ，則RQ是PR在面ABC內(nèi)的射影，由三垂線(xiàn)定理得逆定理得，OR⊥AB，
∠PRQ為側(cè)面SAB與底面ABC所成的二面角α，直角三角形PRQ中，sinα=，又已知 PQ=PS•sinα，
∴sinα=，∴=，∴PS=PR，即點(diǎn)P到點(diǎn)S的距離等于點(diǎn)P到AB的距離，
根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，點(diǎn)P在以點(diǎn)S為焦點(diǎn)，以AB為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)上．又點(diǎn)P在側(cè)面SAB內(nèi)，故點(diǎn)P的軌跡為
一段拋物線(xiàn)，故選 D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的平面角的求法，直角三角形中的邊角關(guān)系，以及拋物線(xiàn)的定義得應(yīng)用．