Question

已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且2（a²+b²-c²）=3ab；
（1）求sin2

A+B

2

；         
（2）若c=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，將已知的等式兩邊除以2變形后代入表示出的cosC中，化簡即可求出cosC的值，然后由三角形的內(nèi)角和定理得到A+B=π-C，把所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡得到關(guān)于cosC的式子，把cosC的值代入即可求出值；
（2）把c=4代入已知的等式，得到一個關(guān)于a與b的關(guān)系式，由基本不等式a2+b2≥2ab，求出ab的最大值，然后由cosC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答：解：（1）∵a²+b²-c²=

3

2

ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

4

，
∵A+B=π-C，
∴sin2

A+B

2

=

1-cos(A+B)

2

=

1+cosC

2

=

7

8

；
（2）∵a²+b²-c²=

3

2

ab，且c=2，
∴a²+b²-4=

3

2

ab，
又a²+b²≥2ab，
∴

3

2

ab≥2ab-4，∴ab≤8，
∵cosC=

3

4

，∴sinC=

1-cos2C

=

1-( 3 4 )2

=

7

4

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC≤

7

，當且僅當a=b=2

2

時，△ABC面積取最大值，最大值為

7

．

點評：此題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，基本不等式及三角形的面積公式．要求學生熟練掌握三角函數(shù)的恒等變換公式，同時注意靈活變換已知的等式，利用整體代入的數(shù)學思想解決問題．