【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+a(x2﹣1).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a,x∈[1,+∞)時(shí),證明:f(x)≤(x﹣1)ex.
【答案】(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減(2)見解析
【解析】
(1)對(duì)f(x)求導(dǎo),分a≥0, a<0討論,分析導(dǎo)函數(shù)正負(fù),得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)構(gòu)造函數(shù),對(duì)g(x)求導(dǎo),得到,通過二次求導(dǎo)分析正負(fù),進(jìn)而得到g(x)的單調(diào)性,及g(x)的最小值,故得解.
(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>0,+∞),,
當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)a<0時(shí),由f′(x)>0解得,由f′(x)<0解得,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減;
(2)證明:令,則,g′(1)=e﹣(e﹣1)﹣1=0,
再令,則,
當(dāng)x≥1時(shí),,
∴,即m′(x)>0,
∴y=m(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∵m(1)=g′(1)=0,
∴m(x)≥m(1)=0,
∴y=g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(x)≥g(1)=0,
綜上可知,f(x)≤(x﹣1)ex.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,且對(duì)一切都成立.
(1)當(dāng)時(shí).
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
②若,求數(shù)列的前項(xiàng)的和;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使數(shù)列是等差數(shù)列.如果存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某銷售公司在當(dāng)?shù)?/span>、兩家超市各有一個(gè)銷售點(diǎn),每日從同一家食品廠一次性購進(jìn)一種食品,每件200元,統(tǒng)一零售價(jià)每件300元,兩家超市之間調(diào)配食品不計(jì)費(fèi)用,若進(jìn)貨不足食品廠以每件250元補(bǔ)貨,若銷售有剩余食品廠以每件150回收.現(xiàn)需決策每日購進(jìn)食品數(shù)量,為此搜集并整理了、兩家超市往年同期各50天的該食品銷售記錄,得到如下數(shù)據(jù):
銷售件數(shù) | 8 | 9 | 10 | 11 |
頻數(shù) | 20 | 40 | 20 | 20 |
以這些數(shù)據(jù)的頻數(shù)代替兩家超市的食品銷售件數(shù)的概率,記表示這兩家超市每日共銷售食品件數(shù),表示銷售公司每日共需購進(jìn)食品的件數(shù).
(1)求的分布列;
(2)以銷售食品利潤(rùn)的期望為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選哪個(gè)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),g(x)=b(x﹣1),其中a≠0,b≠0
(1)若a=b,討論F(x)=f(x)﹣g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知函數(shù)f(x)的曲線與函數(shù)g(x)的曲線有兩個(gè)交點(diǎn),設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知以線段EF為直徑的圓內(nèi)切于圓O:x2+y2=16.
(1)若點(diǎn)F的坐標(biāo)為(﹣2,0),求點(diǎn)E的軌跡C的方程;
(2)在(1)的條件下,軌跡C上存在點(diǎn)T,使得,其中M,N為直線y=kx+b(b≠0)與軌跡C的交點(diǎn),求△MNT的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求證:當(dāng)時(shí),;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年是中國成立70周年,也是全面建成小康社會(huì)的關(guān)鍵之年.為了迎祖國70周年生日,全民齊心奮力建設(shè)小康社會(huì),某校特舉辦“喜迎國慶,共建小康”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).下面的莖葉圖是參賽兩組選手答題得分情況,則下列說法正確的是( )
A.甲組選手得分的平均數(shù)小于乙組選手的平均數(shù)B.甲組選手得分的中位數(shù)大于乙組選手的中位數(shù)
C.甲組選手得分的中位數(shù)等于乙組選手的中位數(shù)D.甲組選手得分的方差大于乙組選手的的方差
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).
(1)若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最大值和最小值;
(2)設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且為銳角(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PA⊥AB,PA=1,PC=3,BC=2,sin∠PCA,E,F,G分別為線段的PC,PB,AB中點(diǎn),且BE.
(1)求證:AB⊥BC;
(2)若M為線段BC上一點(diǎn),求三棱錐M﹣EFG的體積.
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