Question

【題目】設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．

(1)若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；

(2)設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）.

【解析】

(1)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)化得到的表達(dá)式，進(jìn)而得到最值；（2）為銳角即，設(shè)出點(diǎn)AB的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)化得到點(diǎn)積的表達(dá)式為：x1x2＋y1y2,聯(lián)立直線和橢圓方程，由韋達(dá)定理得到結(jié)果.

(1)由已知得，F1(－，0)，F2(，0)，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，

則＋y2＝1，且－2≤x≤2．

所以·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－3＋1－＝x2－2，

當(dāng)x＝0，即P(0，±1)時(shí)，(·)min＝－2；

當(dāng)x＝±2，即P(±2，0)時(shí)，(·)max＝1．

(2)由題意可知，過點(diǎn)M(0，2)的直線l的斜率存在．

設(shè)l的方程為y＝kx＋2，

由消去y，化簡(jiǎn)整理得

(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)＞0，解得k2>．

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝，

又∠AOB為銳角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，

有x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4

＝(1＋k2)·＋2k·＋4＞0，解得k2＜4，

所以＜k2＜4，即k∈．