Question

【題目】點(diǎn)是曲線：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，①；②的面積為定值；③曲線上存在兩點(diǎn)，使得是等邊三角形；④曲線上存在兩點(diǎn)，使得是等腰直角三角形，其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

設(shè)點(diǎn)，得到切線方程后求得坐標(biāo)，進(jìn)而知為中點(diǎn)，求得，從而可知①②正確；

過原點(diǎn)作傾斜角等于和的條射線與曲線交于，由對(duì)稱性可知③正確；

過原點(diǎn)作條夾角等于的射線與曲線交于，由的值的變化過程，可知存在比值等于和的時(shí)刻，從而知④正確.

設(shè)點(diǎn)，由得切線方程：，即

， 為中點(diǎn) ，①正確；

，②正確；

過原點(diǎn)作傾斜角等于和的條射線與曲線的交點(diǎn)為

由對(duì)稱性可知中，，又

為等邊三角形，③正確；

過原點(diǎn)作條夾角等于的射線與曲線交于點(diǎn)

當(dāng)直線的傾斜角從減少到的過程中，的值從變化到

在此變化過程中必然存在的值為和的時(shí)刻，此時(shí)為等腰直角三角形，④正確.

真命題的個(gè)數(shù)為個(gè)

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