Question

已知偶函數f（x）在R上的任一取值都有導數，且f′（1）=1，f（x+2）=f（x-2），則曲線y=f（x）在x=-5處的切線的斜率為（　�。�

A．2

B．-2

C．1

D．-1

Answer 1

分析：由ff（x+2）=f（x-2）得f（x+4）=f（x），再兩邊求導得f′（x+4）=f′（x），結合f（x）為偶函數，得到一個式子，對此式再兩邊求導，由此和條件可求即f′（-5）的值即為所求切線的斜率．

解答：解：由題意知，由f（x+2）=f（x-2），得f（x+4）=f（x），
∵f（x）在R上可導，
∴f′（x+4）（x+4）′=f′（x）（x）′，即f′（x+4）=f′（x）①，
∵f（x）為偶函數，∴f（-x）=f（x），
∴f′（-x）（-x）′=f′（x），即f′（-x）=-f′（x）②，
∴f′（-5）=f′（-1）=-f′（1）=-1，即所求切線的斜率為-1，
故選D．

點評：本題考查了利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，以及函數奇偶性的應用，解題的關鍵是得出f′（x+4）=f′（x）和f′（-x）=-f′（x），是一道中檔題．