Question

【題目】已知點P（x，y）是曲線C上任意一點，點（x，2y）在圓x2+y2=8上，定點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），直線l與曲線C交于A、B兩個不同點．
（1）求曲線C的方程；
（2）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：在曲線C上任取一個動點P（x，y），

則點（x，2y）在圓x2+y2=8上．

所以有x2+（2y）2=8．

整理得曲線C的方程為

（2）解：∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，又KOM= ，

∴直線l的方程為y= x+m．

由 ，

∴x2+2mx+2m2﹣4=0，∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，∴△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，

解得﹣2＜m＜2且m≠0．∴m的取值范圍是﹣2＜m＜0或0＜m＜2．

設直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2），

則k1= ，k2= ，

由x2+2mx+2m2﹣4=0可得x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4．

k1+k2= ++

=

=

= =0．

k1+k2=0．

故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形

【解析】（1）先設曲線C上任取一個動點P的坐標（x，y），然后根據(jù)題意（x，2y）在圓x2+y2=8上，整理即可解出曲線C的方程．（2）設直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與圓的三種位置關系(直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點)．