Question

已知函數(shù)f（x）=lg

1+ax

1-x

（a＞0）為奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=1+x+

b

1-x

（b∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[

1

3

，

1

2

]時，關(guān)于x的不等式f（x）≤lgg（x）有解，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）由f(x)=lg

1+ax

1-x

(a＞0)為奇函數(shù)得f（-x）+f（x）=0，
即lg

1-ax

1+x

+lg

1+ax

1-x

=lg

1-a2x2

1-x2

=0，
所以

1-a2x2

1-x2

=1，解得a=1，
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故f(x)=lg

1+x

1-x

，
所以f（x）的定義域是（-1，1）；

（Ⅱ）不等式f（x）≤lgg（x）等價于

1+x

1-x

≤1+x+

b

1-x

，
即b≥x²+x在x∈[

1

3

，

1

2

]有解，
故只需b≥（x²+x）_min，
函數(shù)y=x2+x=(x+

1

2

)2-

1

4

在x∈[

1

3

，

1

2

]單調(diào)遞增，
所以ymin=(

1

3

)2+

1

3

=

4

9

，
所以b的取值范圍是[

4

9

，+∞)．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．