如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,點M在邊BC上,DAMC1是以點M為直角頂點的等腰直角三角形

1求證:點M為邊BC的中點;

2求點C到平面AMC1的距離;

3求二面角M-AC1-C的大小.

如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以ÐABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,DA1C1的中點,EB1C的中點.

1求直線BEA1C所成的角;

2在線段AA1上是否存在點F,使CF^平面B1DF,若存在,求出;若不存在,說明理由

答案:
解析:

(甲)(1)證明:∵ DAMC1是以點M為直角頂點的等腰直角三角形,

AM^C1MAM=C1M.  ∵ 正三棱柱ABC-A1B1C1

CC1^底面ABC且底面ABC為正三角形.∴ C1M在底面內的射影為CM,AM^CM

∵ 底面ABC是邊長為a的正三角形,∴ 點MBC邊的中點.

(2)解:過點CCH^MC1,由(1)知AM^C1MAM^CM,

AM^平面C1CM  ∵ CH在平面C1CM內,∴ CH^AM,∴ CH^平面C1AM

由(1)知,,CC1^BC

∴ 點C到平面AMC1的距離為

(3)解:過點CCI^AC1I,連結HI,∵ CH^平面C1AM,

HICI在平面C1AM內的射影,∴ HI^AC1,ÐCIH是二角M-AC1-C的平面角.

在直角三角形ACC1中,

∴ ÐCIH=45°,∴ 二面角M-AC1-C的大小為45°.

(乙)解:(1)以B為原點,建立空間直角坐標系.

AC=2a,ÐABC=90°,∴ AB=BC=

B(0,0,0),

,,B1(0,0,3a)

,,∴

,,∴

BEA1C所成的角為

(2)假設存在點F,使CF^平面B1DF,不妨設AF=b,∴ ,,,∵ ,∴ CF^B1D恒成立.

b=2a,故當或2a時,CF^平面B1DF


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