(19甲)如圖,正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為a

 

(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并寫出點A、BA1、C1的坐標(biāo);

(Ⅱ)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.

(19甲)本小題主要考查空間直角坐標(biāo)系的概念,空間點和向量的坐標(biāo)表示以及向量夾角的計算方法,考查運用向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法.

解:

(Ⅰ)如圖,以點A為坐標(biāo)原點O,以AB所在直線為Oy軸,以AA1所在直線為Oz軸,以經(jīng)過原點且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

由已知,得

A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,a),C1(-a,,a).

 

(Ⅱ)坐標(biāo)系如上,取A1B1的中點M,于是有M(0,,a),連AM,MC1

 =(-a,0,0),且 =(0,a,0), =(0,0,a).

由于·=0,·=0,所以,MC1⊥面ABB1A1.

AC1AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.

=(-a,,a),=(0,,a),

·=0++2a2=a2.                                   

而||==a.

||==a.

∴cos<,>==.                                  

所以,所成的角,即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°.


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