Question

已知O為坐標原點，點E、F的坐標分別為（-1，0）、（1，0），動點A、M、N滿足|

AE

|=m|

EF

|（m＞1），

MN

•

AF

=0，

ON

=

1

2

(

OA

+

OF

)，

AM

∥

ME

．
（Ⅰ）求點M的軌跡W的方程；
（Ⅱ）點P(

m

2

，  y0)在軌跡W上，直線PF交軌跡W于點Q，且

PF

=λ

FQ

，若1≤λ≤2，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析：（1）由向量的條件可得MN垂直平分AF，從而得線段ME，MF的關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義可求得M的軌跡W的方程；
（2）依據(jù)向量關(guān)系式求得點Q的坐標，再將P、Q的坐標代橢圓W的方程中，得到m的表達式，最后根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系求范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）∵

MN

•

AF

=0，

ON

=

1

2

(

OA

+

OF

)，
∴MN垂直平分AF．
又

AM

∥

ME

，∴點M在AE上，
∴|

AM

|+|

ME

|=|

AE

|=m|

EF

|=2m，|

MA

|=|

MF

|，
∴|

ME

|+|

MF

|=2m＞|

EF

|，（4分）
∴點M的軌跡W是以E、F為焦點的橢圓，且半長軸a=m，半焦距c=1，
∴b²=a²-c²=m²-1．
∴點M的軌跡W的方程為

x2

m2

+

y2

m2-1

=1（m＞1）．（6分）
（Ⅱ）設(shè)Q（x₁，y₁）
∵P(

m

2

，y0)，

PF

=λ

FQ

，
∴

1- m 2 =λ(x1-1) -y0=λy1.

∴

x1= 1 λ (λ+1- m 2 ) y1=- 1 λ y0.

（8分）
由點P、Q均在橢圓W上，
∴

1 4 + y 2 0 m2-1 =1 1 λ2m2 (λ+1- m 2 )2+ y 2 0 λ2(m2-1) =1.

（10分）
消去y₀并整理，得λ=

m2-m+1

m2-1

，
由1≤

m2-m+1

m2-1

≤2及m＞1，解得1＜m≤2（14分）

點評：本題在向量與圓錐曲線交匯處命題，考查了向量的幾何意義、曲線方程的求法、橢圓的定義以及等價轉(zhuǎn)化能力．