對于函數(shù)f1(x),f2(x),h(x),如果存在實(shí)數(shù)a,b使得h(x)=a•f1(x)+b•f2(x),那么稱h(x)為f1(x),f2(x)的生成函數(shù).
(1)下面給出兩組函數(shù),h(x)是否分別為f1(x),f2(x)的生成函數(shù)?并說明理由.
第一組:;
第二組:f1(x)=x2-x,f2(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1.
(2)設(shè),生成函數(shù)h(x).若不等式h(4x)+t•h(2x)<0在x∈[2,4]上有解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
(3)設(shè),取a>0,b>0生成函數(shù)h(x)圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8).若對于任意正實(shí)數(shù)x1,x2且x1+x2=1,試問是否存在最大的常數(shù)m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立?如果存在,求出這個m的值;如果不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)化簡h(x)=a•f1(x)+b•f2(x),使得與相同,求出a,b判斷結(jié)果滿足題意;類似方法計(jì)算判斷第二組.
(2)設(shè),生成函數(shù)化簡不等式h(4x)+t•h(2x)<0,在x∈[2,4]上有解,就是求的最大值,即可.
(3)由題意得,,則,由于生成函數(shù)h(x)圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8).故,可求得所以函數(shù).假設(shè)存在最大的常數(shù)m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立.即有,從而轉(zhuǎn)化為求u的最小值即可.
解答:解:(1)①設(shè),即
,所以h(x)是f1(x),f2(x)的生成函數(shù).
②設(shè)a(x2+x)+b(x2+x+1)=x2-x+1,即(a+b)x2+(a+b)x+b=x2-x+1,則,該方程組無解.
所以h(x)不是f1(x),f2(x)的生成函數(shù).…(4分)
(2)h(4x)+t•h(2x)<0,即log2(4x)+t•log2(2x)<0
所以,(2+log2x)+t(1+log2x)<0.因?yàn)閤∈[2,4],所以1+log2x∈[2,3]
,函數(shù)在[2,4]上單調(diào)遞增,所以
. …(10分)
(3)由題意得,,則,
,解得所以. …(12分)
假設(shè)存在最大的常數(shù)m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立.
于是設(shè)=
=
設(shè)t=x1x2,則,即
設(shè)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184252738763530/SYS201310241842527387635024_DA/30.png">,所以,在上單調(diào)遞減,從而
故存在最大的常數(shù)m=289…(16分)
點(diǎn)評:本題考查其他不等式的解法,函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素,函數(shù)恒成立問題,考查值思想,分類討論,計(jì)算能力,函數(shù)與方程的思想,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于函數(shù)f1(x),f2(x),h(x),如果存在實(shí)數(shù)a,b使得h(x)=a•f1(x)+b•f2(x),那么稱h(x)為f1(x),f2(x)的生成函數(shù).
(Ⅰ)下面給出兩組函數(shù),h(x)是否分別為f1(x),f2(x)的生成函數(shù)?并說明理由;
    第一組:f1(x)=sinx,  f2(x)=cosx,  h(x)=sin(x+
π
3
)
;
    第二組:f1(x)=x2-x,f2(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1;
(Ⅱ)設(shè)f1(x)=log2x,  f2(x)=log
1
2
x,  a=2,  b=1
,生成函數(shù)h(x).若不等式3h2(x)+2h(x)+t<0在x∈[2,4]上有解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)f1(x)=x,   f2(x)=
1
x
   (1≤x≤10)
,取a=1,b>0,生成函數(shù)h(x)使h(x)≥b恒成立,求b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•浦東新區(qū)一模)對于函數(shù)f1(x),f2(x),h(x),如果存在實(shí)數(shù)a,b使得h(x)=a•f1(x)+b•f2(x),那么稱h(x)為f1(x),f2(x)的生成函數(shù).
(1)下面給出兩組函數(shù),h(x)是否分別為f1(x),f2(x)的生成函數(shù)?并說明理由.
第一組:f1(x)=sinx,f2(x)=cosx,h(x)=sin(x+
π
3
)
;
第二組:f1(x)=x2-x,f2(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1.
(2)設(shè)f1(x)=log2x,f2(x)=log
1
2
x,a=2,b=1
,生成函數(shù)h(x).若不等式h(4x)+t•h(2x)<0在x∈[2,4]上有解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
(3)設(shè)f1(x)=x(x>0),f2(x)=
1
x
(x>0)
,取a>0,b>0生成函數(shù)h(x)圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8).若對于任意正實(shí)數(shù)x1,x2且x1+x2=1,試問是否存在最大的常數(shù)m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立?如果存在,求出這個m的值;如果不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:懷柔區(qū)二模 題型:解答題

對于函數(shù)f1(x),f2(x),h(x),如果存在實(shí)數(shù)a,b使得h(x)=a•f1(x)+b•f2(x),那么稱h(x)為f1(x),f2(x)的生成函數(shù).
(Ⅰ)下面給出兩組函數(shù),h(x)是否分別為f1(x),f2(x)的生成函數(shù)?并說明理由;
第一組:f1(x)=sinx,  f2(x)=cosx,  h(x)=sin(x+
π
3
)

第二組:f1(x)=x2-x,f2(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1;
(Ⅱ)設(shè)f1(x)=log2x,  f2(x)=log
1
2
x,  a=2,  b=1
,生成函數(shù)h(x).若不等式3h2(x)+2h(x)+t<0在x∈[2,4]上有解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)f1(x)=x,   f2(x)=
1
x
   (1≤x≤10)
,取a=1,b>0,生成函數(shù)h(x)使h(x)≥b恒成立,求b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

對于函數(shù)f1(x),f2(x),h(x),如果存在實(shí)數(shù)a,b使得h(x)=a•f1(x)+b•f2(x),那么稱h(x)為f1(x),f2(x)的生成函數(shù).
(1)下面給出兩組函數(shù),h(x)是否分別為f1(x),f2(x)的生成函數(shù)?并說明理由.
第一組:;
第二組:f1(x)=x2-x,f2(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1.
(2)設(shè),生成函數(shù)h(x).若不等式h(4x)+t•h(2x)<0在x∈[2,4]上有解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
(3)設(shè),取a>0,b>0生成函數(shù)h(x)圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8).若對于任意正實(shí)數(shù)x1,x2且x1+x2=1,試問是否存在最大的常數(shù)m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立?如果存在,求出這個m的值;如果不存在,請說明理由.

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