【題目】
(1)若 時, ,求cos4x的值;
(2)將 的圖象向左移 ,再將各點橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得y=g(x),若關(guān)于g(x)+m=0在區(qū)間 上的有且只有一個實數(shù)解,求m的范圍.

【答案】
(1)解: =( sin2x,cos2x), =(cos2x,﹣cos2x),

∴f(x)= +

= sin2xcos2x﹣cos22x+

= sin4x﹣ cos4x﹣ +

=﹣cos(4x+ )=﹣

∴cos(4x+ )= ;

時,4x+ ∈( ,2π),

∴sin(4x+ )=﹣ =﹣ ,

∴cos4x=cos[(4x+ )﹣ ]

=cos(4x+ )cos +sin(4x+ )sin

= × +(﹣ )×

=


(2)解:由(1)知,f(x)= sin4x﹣ cos4x=sin(4x﹣ ),

將f(x)的圖象向左平移 個單位,得y=sin[4(x+ )﹣ ]=sin(4x+ )的圖象;

再將y各點橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得y=sin(2x+ )的圖象;

則y=g(x)=sin(2x+ );

當(dāng)x∈ 時,2x+ ∈[ , ],

畫出函數(shù)g(x)的圖象,如圖所示;

則g(x)+m=0在區(qū)間 上的有且只有一個實數(shù)解時,

應(yīng)滿足﹣ ≤﹣m< 或﹣m=1;

即﹣ <m≤ ,或m=﹣1.


【解析】(1)由題意,根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算求出cos(4x+ )的值,再利用三角恒等變換求出cos4x的值;(2)由(1)知f(x)的解析式,利用圖象平移和變換得出g(x)的解析式,畫出函數(shù)g(x)的圖象,結(jié)合圖象求出m的取值范圍.

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