Question

（2012•江西模擬）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，(a1+a3)(a5+a7)=4

a

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，則下列結(jié)論中正確的是（　　）

A．?dāng)?shù)列{a_n}是遞增數(shù)列

B．?dāng)?shù)列{a_n}是遞減數(shù)列

C．?dāng)?shù)列{a_n}是常數(shù)列

D．?dāng)?shù)列{a_n}有可能是遞增數(shù)列也有可能是遞減數(shù)列

Answer 1

分析：由條件利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)可得 a32+a52=2 a42，設(shè)公比為q，則得 a12q⁴+a12q⁸=2a12q⁶，求得 q²=1，q=1，由此得出結(jié)論．

解答：解：各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，∵(a1+a3)(a5+a7)=4

a

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 成立，即 a₁a₅+a₁a₇+a₃a₅+a₃a₇=4a42成立．
利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)化簡可得 a32+a42+a42+a52=4a42，進一步化簡得 a32+a52=2 a42．
設(shè)公比為q，則得 a12q⁴+a12q⁸=2a12q⁶，化簡可得 1+q⁴=2q²，即 （q²-1）²=1，
∴q²=1，故q=1．（由于各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，故q=-1舍去）
故此等比數(shù)列是常數(shù)列，
故選 C．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，求得 q²=1，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．