【題目】2017雙節(jié)期間,高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調(diào)查,將他們在某段高速公路的車速分成六段: , , , , 后得到如圖的頻率分布直方圖.

(1)調(diào)查公司在采樣中,用到的是什么抽樣方法?

(2)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的估計值;

(3)若從車速在的車輛中任抽取2輛,求車速在的車輛至少有一輛的概率.

【答案】(1)系統(tǒng)抽樣;(2)見解析;(3)

【解析】

(1)這個抽樣是按進服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調(diào)查,是一個具有相同間隔的抽樣,并且總體的個數(shù)比較多,這是一個系統(tǒng)抽樣;

(2)選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點即為眾數(shù);求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對應(yīng)的橫軸的左邊即為中位數(shù);利用各個小矩形的面積乘以對應(yīng)矩形的底邊的中點的和為數(shù)據(jù)的平均數(shù);

(3)從圖中可知,車速在[60,65)的車輛數(shù)和車速在[65,70)的車輛數(shù).從車速在(60,70)的車輛中任抽取2輛,設(shè)車速在[60,65)的車輛設(shè)為a,b,車速在[65,70)的車輛設(shè)為c,d,e,f,列出各自的基本事件數(shù),從而求出相應(yīng)的概率即可.

(1)系統(tǒng)抽樣.

(2)眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點,即

設(shè)圖中虛線所對應(yīng)的車速為,則中位數(shù)的估計值為:

,

解得

即中位數(shù)的估計值為

平均數(shù)的估計值為:,

(3)車速在的車輛數(shù)為:2

車速在的車輛數(shù)為:4

設(shè)車速在的車輛為,車速在的車輛為,

則基本事件有:

,

,

15種,其中,車速在的車輛至少有一輛的事件有:

,

14,

所以車速在的車輛至少有一輛的概率為

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(1)證明:EF平面PAB;

(2)若二面角P-AD-B為60°

證明:平面PBC平面ABCD;

求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.

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學(xué)校

抽查人數(shù)

50

15

10

25

“創(chuàng)城”活動中參與的人數(shù)

40

10

9

15

(注:參與率是指:一所學(xué)!皠(chuàng)城”活動中參與的人數(shù)與被抽查人數(shù)的比值)假設(shè)每名高中學(xué)生是否參與”創(chuàng)城”活動是相互獨立的.

(1)若該區(qū)共2000名高中學(xué)生,估計學(xué)校參與“創(chuàng)城”活動的人數(shù);

(2)在隨機抽查的100名高中學(xué)生中,隨機抽取1名學(xué)生,求恰好該生沒有參與“創(chuàng)城”活動的概率;

(3)在上表中從兩校沒有參與“創(chuàng)城”活動的同學(xué)中隨機抽取2人,求恰好兩校各有1人沒有參與“創(chuàng)城”活動的概率是多少?

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(1)求的方程;

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1)求證:平面平面

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3)在棱上是否存在點,使得平面?說明理由.

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2)若點的坐標(biāo)為,求點的坐標(biāo);

3)當(dāng)時,是否存在直線與圓相切?若存在,求線段的長;若不存在,說明理由.

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