已知函數(shù)y=
x2-x+n
x2+1
(n∈N*,y≠1)的最小值為an,最大值為bn,且cn=4(anbn-
1
2
).?dāng)?shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn
(1)請(qǐng)用判別式法求a1和b1
(2)求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn
(3)若{dn}為等差數(shù)列,且dn=
Sn
n+c
(c為非零常數(shù)),設(shè)f(n)=
dn
(n+36)dn+1
(n∈N*),求f(n)的最大值.
分析:(1)先整理出關(guān)于y的一元二次方程,再利用判別式,可求求a1和b1
(2)先整理出關(guān)于y的一元二次方程,再利用韋達(dá)定理便可求出anbn,代入cn的表達(dá)式中即可求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式;
(3)由(2)中cn的通項(xiàng)公式先求出Sn的表達(dá)式,然后根據(jù)題意求出dn的通項(xiàng)公式,再根據(jù){dn}為等差數(shù)列的條件便可求出c的值,可得的dn 的通項(xiàng)公式代入求出f(n)的表達(dá)式,根據(jù)基本不等式,即可求得結(jié)論.
解答:解:(1)n=1時(shí),y=
x2-x+1
x2+1
,則(y-1)x2+x+y-1=0
∵x∈R,y≠1,
∴△=1-4(y-1)(y-1)≥0,即4y2-8y+3≤0
1
2
≤y≤
3
2

∴a1=
1
2
,b1=
3
2
;
(2)由y=
x2-x+n
x2+1
,可得(y-1)x2+x+y-n=0
∵x∈R,y≠1,
∴△=1-4(y-1)(y-n)≥0,即4y2-4(1+n)y+4n-1≤0
由題意知:an,bn是方程4y2-4(1+n)y+4n-1=0的兩根,
∴an•bn=
4n-1
4

∴cn=4(anbn-
1
2
)=4n-3;
(3)∵cn=4n-3,∴Sn=2n2-n,∴dn=
Sn
n+c
=
2n2-n
n+c

∵{dn}為等差數(shù)列,∴2d2=d1+d3,
∴2c2+c=0,∴c=0(舍去)或c=-
1
2
,∴dn=
2n2-n
n-
1
2
=2n
∴f(n)=
dn
(n+36)dn+1
=
n
n2+37n+36
=
1
n+
36
n
+37
1
2
36
+37
=
1
49

當(dāng)且僅當(dāng)n=
36
n
,即n=6時(shí),取等號(hào),∴f(n)的最大值為
1
49
點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用,考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握,解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,屬于中檔題.
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