Question

已知函數(shù)f（x）=sinx-ax，g（x）=bxcosx（a∈R，b∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上的單調(diào)性；
（2）若a=2b且a≥

2

3

，當x＞0時，證明f（x）＜g（x）．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)f'（x）=cosx-a通過余弦函數(shù)的值域，討論a與[-1，1]的范圍，判斷導數(shù)的符號，然后得到函數(shù)的單調(diào)性．
（2）用分析法證明f（x）＜g（x），轉(zhuǎn)化為證明

sinx

2+cosx

＜

a

2

x，構(gòu)造函數(shù)M（x）=

sinx

2+cosx

-

a

2

x，通過求解函數(shù)的導數(shù)，求出函數(shù)的最值，然后證明即可．

解答： （本小題13分）
解：（1）f（x）=sinx-ax，則f'（x）=cosx-a…（1分）
當a≥1時，f'（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞減   …（2分）
當a≤-1時，f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞增   …（3分）
當-1＜a＜1時，存在ϕ∈（0，π），使得cosϕ=a，即f'（ϕ）=0，
x∈（0，ϕ）時，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，ϕ）上單調(diào)遞增，
x∈（ϕ，π）時，f'（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（ϕ，π）上單調(diào)遞減  …（6分）
（2）要證明f（x）＜g（x），只須證明f（x）-g（x）＜0
當a=2b時，f(x)-g(x)=sinx-

a

2

x(2+cosx)＜0…（7分）
等價于

sinx

2+cosx

＜

a

2

x…（9分）
記M（x）=

sinx

2+cosx

-

a

2

x，則    …（10分）
M'（x）=

2cosx+1

(2+cosx)2

-

a

2

=-3(

1

2+cosx

-

1

3

)2-

a

2

+

1

3

…（11分）
當a≥

2

3

，即

a

2

≥

1

3

時，M'（x）≤0，M（x）在區(qū)間上（0，+∞）單調(diào)遞減，M（x）＜M（0）=0
所以，當x＞0，f（x）＜g（x）恒成立．…（13分）

點評：本題考查函數(shù)的對數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及最值的應(yīng)用，分析法以及構(gòu)造法是解題的關(guān)鍵，考查分析問題解決問題的能力．