已知圓的圓心在坐標原點，且恰好與直線相切，設點A為圓上一動點，軸于點，且動點滿足，設動點的軌跡為曲線

（1）求曲線C的方程，

（2）直線l與直線l，垂直且與曲線C交于B、D兩點，求△OBD面積的最大值．

 

（1） ;（2）

【解析】

試題分析：（1）此題考察軌跡方程，考察代入法的習題，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，可以求出圓的半徑，即知道圓的方程，設動點,,,利用公式 ，寫出向量相等的坐標表示，利用,代入，得到關于的方程；

（2）利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立，和點到直線的距離公式，得出面積，并求出最大值.

（1）設動點，因為軸于，所以，

設圓的方程為，由題意得， 所以圓的程為.

由題意, ，所以，

所以即

將代入圓,得動點的軌跡方程

（2）由題意可設直線，設直線與橢圓交于，

聯(lián)立方程得，

，解得， ，

又因為點到直線的距離， .（當且僅當即 時取到最大值） 面積的最大值為.

考點：1.代入法求軌跡方程;2.直線方程與圓錐曲線聯(lián)立；3.弦長公式.

 

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,,則( )

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