Question

在平面直角坐標(biāo)系中，橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，如果函數(shù)f（x）的圖象恰好通過(guò)k（k∈N^*）個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)f（x）為k階格點(diǎn)函數(shù)．對(duì)下列4個(gè)函數(shù)：①f(x)=-cos(

π

2

-x)；②f(x)=(

1

3

)x；③f（x）=3π（x-1）²+2；④f（x）=log_0.5x；其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的有（　�。�

• A、①③
• B、②③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

分析：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)所給的函數(shù)，①利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后，求出整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，判定是否滿足題意；②找出反例判斷正誤．③找出滿足題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是即可判斷正誤；④利用對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的互化，找出整點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可判定正誤，進(jìn)而可得答案．

解答：解：顯然點(diǎn)（0，0）是函數(shù)f(x)=-cos(

π

2

-x)=-sinx的圖象上，而且函數(shù)只有最高點(diǎn)和最低點(diǎn)以及圖象與x軸的交點(diǎn)處，
橫坐標(biāo)都不是整點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)=-cos(

π

2

-x)是一階格點(diǎn)函數(shù)．
f（x）=3π（x-1）²+2的圖象上點(diǎn)（1，2）為整點(diǎn)，當(dāng)x≠1的整數(shù)時(shí)，函數(shù)值都不是整數(shù)，故函數(shù)是一階格點(diǎn)函數(shù)；
函數(shù)f(x)=(

1

3

)x中，當(dāng)x取負(fù)整數(shù)或0時(shí)，都是整點(diǎn)，不成立；
當(dāng)x=(

1

2

)n (n=0，1，2，3，…)，都是整點(diǎn)，故函數(shù)f（x）=log_0.5x不是一階格點(diǎn)函數(shù)．
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，創(chuàng)新題，考查發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，涉及三角函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．