Question

已知函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足f（1）=f（4）
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（Ⅱ）試證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，+∞）單調(diào)遞增；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)k同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：
①不等式對x∈（0，+∞）恒成立；
②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解．若存在，試求出實(shí)數(shù)k的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ） 由f（1）=f（4）得，解得b=4． …
由為奇函數(shù)，得f（x）+f（-x）=0對x≠0恒成立，
即，所以a=0． …
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
任取x₁，x₂∈（0，2]，且x₁＜x₂，，…
∵0＜x₁＜x₂≤2，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]單調(diào)遞減． …
類似地，可證f（x）在區(qū)間（2，+∞）單調(diào)遞增． …
（Ⅲ）對于條件①，由（Ⅱ）得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有最小值f（2）=4，
故若對x∈（0，+∞）恒成立，
則需f（x）_min＞-，則4＞-，
∴k＞-8；
對于條件②，由（Ⅱ）可知函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上遞增，在[-2，0）上遞減，
∴函數(shù)f（x）在[-6，-2]上遞增，在[-2，0）上遞減，
又f（-6）=-，f（-2）=-4，f（-1）=-5，
所以函數(shù)f（x）在[-6，-1]上的值域?yàn)閇-，-4]，
若方程f（x）=k在[-6，-1]上有解，則需-k≤-4，
若同時(shí)滿足條件①②，則需．
所以：-≤k≤-4．
故當(dāng)-≤k≤-4時(shí)，條件①②同時(shí)滿足．
分析：（Ⅰ）先根據(jù)f（1）=f（4）求出b的值；再結(jié)合f（x）+f（-x）=0對x≠0恒成立求出a的值即可；
（Ⅱ）直接按照單調(diào)性的證明過程來證即可；
（Ⅲ）先結(jié)合第二問的結(jié)論知道函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有最小值f（2）=4以及可知函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上遞增，在[-2，0）上遞減；對于①；轉(zhuǎn)化為f（x）_min＞-；對于②轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題即可；最后把兩個(gè)成立的范圍相結(jié)合即可求出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題主要考察函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合．解決第一問的關(guān)鍵在于利用奇函數(shù)的定義得到f（x）+f（-x）=0對x≠0恒成立求出a的值．