Question

（12分）（原創(chuàng)）已知函數(shù)相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為，若將的圖像先向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，所得的函數(shù)為奇函數(shù)。

（1）求的解析式，并求的對(duì)稱(chēng)中心；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（1），對(duì)稱(chēng)中心為：，（2）或.

【解析】

試題分析：函數(shù)相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為，說(shuō)明函數(shù)的周期為，利用周期公式，將的圖像先向左平移個(gè)單位，即，再向下平移1個(gè)單位，，函數(shù)為奇函數(shù)，只需，解出，得，進(jìn)而求出對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)即可；（2）由于，在函數(shù)值從0增到1，在函數(shù)值從1減到0，對(duì)于任意給定的任意值，有兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，令，方程化為：，有兩個(gè)不等式跟只需方程在上僅有一個(gè)實(shí)根，借助一元二次方程的根的分布解決即可.

試題解析：（1）由條件得：，即, 則，

又為奇函數(shù)，令，，，，

由，得對(duì)稱(chēng)中心為：

（2）,又有（1）知：，則，的函數(shù)值從0遞增到1，又從1遞減回0.令則由原命題得：在上僅有一個(gè)實(shí)根。

令，

則需或，

解得：或.

考點(diǎn)：1.三角函數(shù)圖像與性質(zhì)；2.的圖像變換；3.一元二次方程的根的分布；