【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)在點處的切線方程;

(2)若存在,對任意,使得恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(3)已知函數(shù)區(qū)間上的最小值為1,求實數(shù)的值.

【答案】(1);(2) ;(3) .

【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo)得到,代入點(1,1)可得到方程;(2)設(shè)函數(shù),存在,對任意恒成立,即上存在最小值,對函數(shù)求導(dǎo)則只需要函數(shù)在上不單調(diào)即可;(3),存在唯一的,使得,即 (*),=,可根據(jù)不等式得到最值,進(jìn)而求得a.

(1) ,則函數(shù)在點處的切線方程為;

(2)設(shè)函數(shù),存在,對任意恒成立,即上存在最小值,

=,

當(dāng)時,恒成立,上單調(diào)遞增,無最小值;

當(dāng)時,,上單調(diào)遞減,,上單調(diào)遞增,時,有最小值滿足題意,實數(shù)的取值范圍是;

3,

在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,存在唯一的,使得,即*),

函數(shù)上單調(diào)遞增,單調(diào)遞減;,單調(diào)遞增,,由式得,

=

,

(當(dāng)且僅當(dāng)),由,此時,把代入(*)也成立,

∴實數(shù)的值為.

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