如圖,四棱錐中,底面是菱形,,,是的中點(diǎn),點(diǎn)在側(cè)棱上.
(1)求證:⊥平面;
(2)若是的中點(diǎn),求證://平面;
(3)若,試求的值.
(1)詳見解析(2)詳見解析(3)
解析試題分析:(1)由線面垂直判定定理,要證線面垂直,需證垂直平面內(nèi)兩條相交直線,由,是的中點(diǎn),易得垂直于,再由底面是菱形,得三角形為正三角形,所以垂直于,(2)由線面平行判定定理,要證線面平行,需證平行于平面內(nèi)一條直線,根據(jù)是的中點(diǎn),聯(lián)想到取AC中點(diǎn)O所以O(shè)Q為△PAC中位線.所以O(shè)Q // PA注意在寫定理?xiàng)l件時(shí),不能省,要全面.例如,線面垂直判定定理中有五個(gè)條件,線線垂直兩個(gè),相交一個(gè),線在面內(nèi)兩個(gè);線面平行判定定理中有三個(gè)條件,平行一個(gè),線在面內(nèi)一個(gè),線在面外一個(gè),(3)研究體積問題關(guān)鍵在于確定高,由于兩個(gè)底面共面,所以求的值就轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)高的長度比.
試題解析:(1)因?yàn)镋是AD的中點(diǎn),PA=PD,所以AD⊥PE.
因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,∠BAD=,所以AB=BD,又因?yàn)镋是AD的中點(diǎn),所以 AD⊥BE.
因?yàn)镻E∩BE=E,所以AD⊥平面PBE. 4分
(2)連接AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)OQ.因?yàn)镺是AC中點(diǎn),
Q是PC的中點(diǎn),所以O(shè)Q為△PAC中位線.所以O(shè)Q//PA. 7分
因?yàn)镻A平面BDQ,OQ平面BDQ.所以PA//平面BDQ. 9分
(3)設(shè)四棱錐P-BCDE,Q-ABCD的高分別為,,所以VP-BCDE=SBCDE,VQ-ABCD=SABCD. 10分
因?yàn)閂P-BCDE=2VQ-ABCD,且底面積SBCDE=SABCD. 12分
所以,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d6/1/vfwyr.png" style="vertical-align:middle;" />,所以. 14分
考點(diǎn):線面垂直判定定理, 線面平行判定定理,錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)證明:AB⊥A1C;
(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABCA1B1C1的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
下圖是一幾何體的直觀圖、主視圖、俯視圖、左視圖.
(1)若為的中點(diǎn),求證:面;
(2)證明面.
(3)求該幾何體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在中,AB=2BF=4,C,E分別是AB,AF的中點(diǎn)(如下左圖).將此三角形沿CE對(duì)折,使平面AEC⊥平面BCEF(如下右圖),已知D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:CD∥平面AEF;
(2)求證:平面AEF⊥平面ABF;
(3)求三棱錐C-AEF的體積,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,圓柱的高為2,底面半徑為,AE、DF是圓柱的兩條母線,過作圓柱的截面交下底面于,四邊形ABCD是正方形.
(Ⅰ)求證;
(Ⅱ)求四棱錐E-ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,正三棱錐的底面邊長為,側(cè)棱長為,為棱的中點(diǎn).
(1)求異面直線與所成角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示);
(2)求該三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在底面是正方形的四棱錐中,面,交于點(diǎn),是中點(diǎn),為上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求證:;
(1)確定點(diǎn)在線段上的位置,使//平面,并說明理由.
(3)如果PA=AB=2,求三棱錐B-CDF的體積
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是邊長為a的正三角形,側(cè)棱長為b,側(cè)棱AA'與底面相鄰兩邊AB,AC都成45°角.
(Ⅰ)求此斜三棱柱的表面積.
(Ⅱ)求三棱錐B'-ABC的體積.
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