Question

【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)，的直線傾斜角為.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線，使直線交橢圓于兩點(diǎn)，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，直線的方程為

【解析】

（1）由短軸長(zhǎng)為，可得，由過(guò)點(diǎn)，的直線傾斜角為可得，解出可得橢圓方程；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足題意，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及，又，，化簡(jiǎn)整理，解出，注意檢驗(yàn)判別式是否等于0，即可判斷.

（1）由橢圓的短軸長(zhǎng)為，可得，

∵過(guò)點(diǎn)，的直線傾斜角為，

∴，解得，

∴橢圓的方程.

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足題意，此時(shí)直線的方程為，

將代入橢圓方程，得，

設(shè)，，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，

則，即，

又，，得，

又，，

代入上式可得，解得，

此時(shí)代入，滿(mǎn)足題意，

故存在滿(mǎn)足題意，

此時(shí)直線的方程為.