已知平面向量
α
,
β
(
α
β
)
滿足|
α
|=2
,且
α
β
-
α
的夾角為120°,t∈R,則|(1-t)
α
+t
β
|
的取值范圍是
[
3
,+∞)
[
3
,+∞)
分析:根據(jù)|
α
|=2
,且
α
β
-
α
的夾角為120°,算出
α
•(
β
-
α
)
=-|
β
-
α
|
.化簡得(1-t)
α
+t
β
=
α
+t(
β
-
α
)
,根據(jù)向量模的公式平方得|(1-t)
α
+t
β
|
2=(|
β
-
α
|
t-1)2+3,由平方非負(fù)的性質(zhì)得出|(1-t)
α
+t
β
|
2的最小值為3,即可得到|(1-t)
α
+t
β
|
的取值范圍.
解答:解:∵(1-t)
α
+t
β
=(1-t)
α
+t[
α
+(
β
-
α
)]
=
α
+t(
β
-
α
)
,
|(1-t)
α
+t
β
|
2=[
α
+t(
β
-
α
)
]2=
α
2
+2t
α
•(
β
-
α
)
+t2(
β
-
α
)2

|
α
|=2
,且
α
β
-
α
的夾角為120°,
α
•(
β
-
α
)
=
|α|
•|
β
-
α
|
cos120°=-|
β
-
α
|

由此可得|(1-t)
α
+t
β
|
2=|
β
-
α
|
2t2-2|
β
-
α
|
t+4=(|
β
-
α
|
t-1)2+3,
∵(|
β
-
α
|
t-1)2≥0,當(dāng)且僅當(dāng)|
β
-
α
|
t-1=0,即t=
1
|
β
-
α
|
時(shí),|(1-t)
α
+t
β
|
2的最小值為3.
|(1-t)
α
+t
β
|
的最小值為
3
,可得則|(1-t)
α
+t
β
|
的取值范圍是[
3
,+∞)

故答案為:[
3
,+∞)
點(diǎn)評:本題著重考查了平面向量數(shù)量積的公式、向量模的公式和實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

10、已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),則向量a+b(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面向量
a
=(1,-3),
b
=(4,-2),λ
a
+
b
a
垂直,則λ是( 。
A、-1B、1C、-2D、2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面向量
a
,
b
滿足|
a
|=1,|
b
|=2
,
a
b
的夾角為60°,則“m=1”是“(
a
-m
b
)⊥
a
”的( 。
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•惠州模擬)已知平面向量
a
b
的夾角為
π
6
,且
a
b
=3,|
a
|=3,則|
b
|等于( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面向量
a
=(m,1),
b
=(m2,
1
9
)
,且
c
=(1,n)
,
d
=(
1
4
n2)
,滿足
a
c
b
d
=1
的解(m,n)僅有一組,則實(shí)數(shù)λ的值為( 。

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