Question

某電視臺綜藝頻道主辦一種有獎過關(guān)游戲，該游戲設(shè)有兩關(guān)，只有過了第一關(guān)，才能玩第二關(guān)，每關(guān)最多玩兩次，連續(xù)兩次失敗者被淘汰出局．過關(guān)者可獲獎金，只過第一關(guān)獲獎金900元，兩關(guān)全過獲獎金3600元．某同學(xué)有幸參與了上述游戲，且該同學(xué)每一次過關(guān)的概率均為

2

3

，各次過關(guān)與否互不影響．在游戲過程中，該同學(xué)不放棄所有機(jī)會．
（1）求該同學(xué)僅獲得900元獎金的概率；
（2）若該同學(xué)已順利通過第一關(guān)，求他獲得3600元獎金的概率；
（3）求該同學(xué)獲得獎金ξ的數(shù)學(xué)期望（精確到元）．

Answer 1

分析：（1）由題意知該同學(xué)每一次過關(guān)的概率均為

2

3

，各次過關(guān)與否互不影響，而該同學(xué)僅獲得900元獎金表示該同學(xué)過了第一關(guān)，第二關(guān)參與活動，但是都失敗，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，得到結(jié)果．
（2）該同學(xué)已順利通過第一關(guān)，當(dāng)他通過第二關(guān)即可獲得3600元獎金，過第二關(guān)表示該同學(xué)在第二關(guān)時，至少有一次通過，它的對立事件是兩次都不通過，根據(jù)對立事件的概率和相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式，得到結(jié)果．
（3）由題意知該同學(xué)獲得獎金ξ可取的值為0，900，3600，根據(jù)上兩問做出的概率，寫出分布列，作出期望．

解答：解：（1）∵該同學(xué)每一次過關(guān)的概率均為

2

3

，各次過關(guān)與否互不影響，
該同學(xué)僅獲得900元獎金表示該同學(xué)過了第一關(guān)，第二關(guān)參與活動，但是都失敗，
設(shè)該同學(xué)僅獲得900元獎金的事件為A，
則P(A)=(1-

1

3

•

1

3

)(

1

3

•

1

3

)=

8

81

（2）∵該同學(xué)已順利通過第一關(guān)，當(dāng)他通過第二關(guān)即可獲得3600元獎金，
過第二關(guān)表示該同學(xué)在第二關(guān)時，至少有一次通過，它的對立事件是兩次都不通過，
∴他獲得3600元獎金的概率P=1-

1

3

•

1

3

=

8

9

（3）由題意知該同學(xué)獲得獎金ξ可取的值為0，900，3600
P(ξ=0)=

1

3

•

1

3

=

1

9

；
P(ξ=900)=

8

81

；
P(ξ=3600)=

8

9

•

8

9

=

64

81

．
Eξ=900×

8

81

+3600×

64

81

=2933，
即該同學(xué)獲得獎金ξ的數(shù)學(xué)期望為2933元

點(diǎn)評：考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力，相互獨(dú)立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，而對立事件是指同一次試驗(yàn)中，不會同時發(fā)生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率．