Question

二階矩陣M有特征值，其對應(yīng)的一個(gè)特征向量e=，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)變換成點(diǎn)．
（1）求矩陣M；
（2）求矩陣M的另一個(gè)特征值及對應(yīng)的一個(gè)特征向量．

Answer 1

（1）（2），

解析試題分析：（1）由于二階矩陣M有特征值，其對應(yīng)的一個(gè)特征向量e=，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)變換成點(diǎn).所以通過假設(shè)二階矩陣，其中有四個(gè)變量，根據(jù)以上的條件特征值與特征向量，以及點(diǎn)通過矩陣的變換得到的點(diǎn)，可得到四個(gè)相應(yīng)的方程，從而解得結(jié)論.
（2）求矩陣M的特征值，根據(jù)特征多項(xiàng)式.即，可求得的值，即可得另一個(gè)特征值.即可寫出相應(yīng)的一個(gè)特征向量.
試題解析：（1）解：（1）設(shè)M=，則由=6得=，
即a+b=c+d=6． 
由=,得，從而a+2b=8，c+2d=4．
由a+b =6及a+2b=8，解得a=4，b=2；
由c+d =6及c+2d=4，解得c=8，d=-2，
所以M=
（2）由（1）知矩陣的特征多項(xiàng)式為

令，得矩陣的特征值為6與．
當(dāng)時(shí)，
故矩陣的屬于另一個(gè)特征值的一個(gè)特征向量為．
考點(diǎn)：1.矩陣的變換.2.特征向量特征值的求法.3.線性問題模型化.