Question

已知函數(shù).

（1）當 時，求在處的切線方程；

（2）設(shè)函數(shù)，

（ⅰ）若函數(shù)有且僅有一個零點時，求的值；

（ⅱ）在（�。┑臈l件下，若，，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）（i）；（ii）.

【解析】

試題分析：（1）將代入函數(shù)解析式，求出，由此計算與的值，最后利用點斜式寫出相應(yīng)的切線方程；（2）利用參數(shù)分離法將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有且僅有一個交點來處理，然后利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而求出的值；（ii）將問題轉(zhuǎn)化為，然后利用導(dǎo)數(shù)研究在區(qū)間上最值，從而確定實數(shù)的取值范圍.

（1）當時，，定義域，

，

，又，

在處的切線方程；

（2）（ⅰ）令，

則，

即，

令，

則，

令，

，

，在上是減函數(shù)，

又，

所以當時，，當時，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，

所以當函數(shù)有且僅有一個零點時；

（ⅱ）當，，

若，，只需證明，

，

令，得或，

又，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

又，，

，

即，，.

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程；2.函數(shù)的零點；3.不等式恒成立；4.參數(shù)分離法