Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若存在點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，使得∠F₁PF₂=60°，則橢圓離心率e的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：設(shè)P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓長軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，P對兩個(gè)焦點(diǎn)的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)P₀處時(shí)，張角∠F₁PF₂達(dá)到最大值．由此可根據(jù)題意得：在Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥30°，所以
P₀O≤OF₂，代入數(shù)據(jù)化簡，可得a²≤4c²，即≥，最后結(jié)合橢圓離心率e=∈（0，1），可得到該橢圓離心率e的取值范圍．
解答：解：如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓長軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，P對兩個(gè)焦點(diǎn)的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)P₀處時(shí)，
張角∠F₁PF₂達(dá)到最大值．由此可得：
∵存在點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，使得∠F₁PF₂=60°，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂≥60°，可得Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥30°，
所以P₀O≤OF₂，即bc，其中c=
∴a²-c²≤3c²，可得a²≤4c²，即≥
∵橢圓離心率e=，且a＞c＞0
∴
故選C
點(diǎn)評：本題根據(jù)橢圓上一點(diǎn)對兩個(gè)焦點(diǎn)的張角大于或等于60度，求橢圓離心率的取值范圍，著重考查了直角三角形的三角函數(shù)和橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．