一個如圖所示的不規(guī)則形鐵片,其缺口邊界是口寬4分米,深2分米(頂點至兩端點所在直線的距離)的拋物線形的一部分,現(xiàn)要將其缺口邊界裁剪為等腰梯形.

(1)若保持其缺口寬度不變,求裁剪后梯形缺口面積的最小值;

(2)若保持其缺口深度不變,求裁剪后梯形缺口面積的最小值.

 

 

(1)6,(2).

【解析】

試題分析:(1)由題意得:保持其缺口寬度不變,需在A,B點處分別作拋物線的切線. 以拋物線頂點為原點,對稱軸為軸,建立平面直角坐標系,則,從而邊界曲線的方程為,.因為拋物線在點處的切線斜率,所以,切線方程為,與軸的交點為.此時梯形的面積平方分米,即為所求.(2)若保持其缺口深度不變,需使兩腰分別為拋物線的切線. 設梯形腰所在直線與拋物線切于時面積最小.此時,切線方程為,其與直線相交于,與軸相交于.此時,梯形的面積.故,當時,面積有最小值為

【解析】
(1)以拋物線頂點為原點,對稱軸為軸,建立平面直角坐標系,則,

從而邊界曲線的方程為

因為拋物線在點處的切線斜率,

所以,切線方程為,與軸的交點為

此時梯形的面積平方分米,即為所求.

(2)設梯形腰所在直線與拋物線切于時面積最小.

此時,切線方程為,

其與直線相交于,

軸相交于

此時,梯形的面積,.……11分

(這兒也可以用基本不等式,但是必須交代等號成立的條件)

=0,得,

時,單調(diào)遞減;

時,單調(diào)遞增,

故,當時,面積有最小值為

考點:利用導數(shù)研究函數(shù)最值

 

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