一個如圖所示的不規(guī)則形鐵片,其缺口邊界是口寬4分米,深2分米(頂點至兩端點所在直線的距離)的拋物線形的一部分,現(xiàn)要將其缺口邊界裁剪為等腰梯形.
(1)若保持其缺口寬度不變,求裁剪后梯形缺口面積的最小值;
(2)若保持其缺口深度不變,求裁剪后梯形缺口面積的最小值.
(1)6,(2).
【解析】
試題分析:(1)由題意得:保持其缺口寬度不變,需在A,B點處分別作拋物線的切線. 以拋物線頂點為原點,對稱軸為軸,建立平面直角坐標系,則,從而邊界曲線的方程為,.因為拋物線在點處的切線斜率,所以,切線方程為,與軸的交點為.此時梯形的面積平方分米,即為所求.(2)若保持其缺口深度不變,需使兩腰分別為拋物線的切線. 設梯形腰所在直線與拋物線切于時面積最小.此時,切線方程為,其與直線相交于,與軸相交于.此時,梯形的面積,.故,當時,面積有最小值為.
【解析】
(1)以拋物線頂點為原點,對稱軸為軸,建立平面直角坐標系,則,
從而邊界曲線的方程為,.
因為拋物線在點處的切線斜率,
所以,切線方程為,與軸的交點為.
此時梯形的面積平方分米,即為所求.
(2)設梯形腰所在直線與拋物線切于時面積最小.
此時,切線方程為,
其與直線相交于,
與軸相交于.
此時,梯形的面積,.……11分
(這兒也可以用基本不等式,但是必須交代等號成立的條件)
=0,得,
當時,單調(diào)遞減;
當時,單調(diào)遞增,
故,當時,面積有最小值為.
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)最值
科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省淮安市高三Ⅲ級部決戰(zhàn)四統(tǒng)測二理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知正整數(shù)滿足,則都是偶數(shù)的概率是 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省淮安市高三Ⅲ級部決戰(zhàn)四統(tǒng)測三數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省高三下學期4月周練文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
若直線的傾斜角為鈍角,則實數(shù)的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省徐州市高三第三次質(zhì)量檢測理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù).若存在實數(shù),,使得的解集恰為,則的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省高考模擬考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
在平面直角坐標xoy中,設圓M的半徑為1,圓心在直線上,若圓M上不存在點N,使,其中A(0,3),則圓心M橫坐標的取值范圍 .
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