Question

平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M經過F₁(0，-c)，F(xiàn)₂(0，c)，A(c，0)三點，其中c＞0，
(Ⅰ)求圓M的標準方程（用含c的式子表示）；
(Ⅱ)已知橢圓（其中a²-b²=c²）的左、右頂點分別為D，B，圓M與x軸的兩個交點分別為A，C，且A點在B點右側，C點在D點右側，
①求橢圓離心率的取值范圍；
②若A，B，M，O，C，D(O為坐標原點)依次均勻分布在x軸上，問直線MF₁與直線DF₂的交點是否在一條定直線上？若是，請求出這條定直線的方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)設圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則由題設，得，解得，
⊙M的方程為，
⊙M的標準方程為。
(Ⅱ)①⊙M與x軸的兩個交點，
又B（b，0），D（-b，0），
由題設，即，
所以，
解得，即，
所以橢圓離心率的取值范圍是。
②由(Ⅰ)，得，
由題設，得，
∴，
∴直線MF₁的方程為，①
直線DF₂的方程為，②
由①②，得直線MF₁與直線DF₂的交點，
易知為定值，
∴直線MF₁與直線DF₂的交點Q在定直線上。