在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為:
x=-2+
3
5
t
y=2+
4
5
t
(t為參數(shù)),它與曲線C:(y-2)2-x2=1交于A,B兩點(diǎn).
(1)求|AB|的長(zhǎng);
(2)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2
2
,
4
)
,求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離.
分析:(1)設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,把直線的參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程并化簡(jiǎn)得7t2+60t-125=0,可得根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)弦長(zhǎng)公式|AB|=|t1-t2|即可得出;
(2)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(-2,2),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)可得AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為
t1+t2
2
.根據(jù)t的幾何意義可得點(diǎn)P到M的距離為|PM|=|
t1+t2
2
|
即可.
解答:解:(1)把直線的參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程并化簡(jiǎn)得7t2+60t-125=0
設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則 t1+t2=-
60
7
,t1t2=-
125
7

|AB|=|t1-t2|=
(t1+t2)2-4t1t2
=
10
71
7

(2)由P的極坐標(biāo)為(2
2
,
4
)
,可得xp=2
2
cos
4
=-2,yp=2
2
sin
4
=2.
∴點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(-2,2),
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)可得AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為
t1+t2
2
=-
30
7

∴由t的幾何意義可得點(diǎn)P到M的距離為|PM|=|
t1+t2
2
|=
30
7
點(diǎn)評(píng):本題考查了直線與雙曲線的相交問題、直線的參數(shù)方程的參數(shù)的幾何意義、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)之間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于中檔題.
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在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在圓C上,且滿足PF=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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(2013•泰州三模)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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(2013•東莞一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線QA1,QA2分別交x軸于點(diǎn)S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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