如圖，直角坐標(biāo)系xoy中，有Rt△ABC，∠C=90°，D在邊BC上，BD=3DC，雙曲線(xiàn)E以B、C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線(xiàn)E的漸近線(xiàn)方程；
（2）若△ABC的周長(zhǎng)為12，求雙曲線(xiàn)的方程．
分析：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)E的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），由B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．BD=3DC，得c+a=3（c-a），由此能求出雙曲線(xiàn)E的漸近線(xiàn)方程；
（2）由（1）即可得到雙曲線(xiàn)E的方程．
解答：解：設(shè)雙曲線(xiàn)E的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），
則B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．
由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a．
∴
|AB|2-|AC|2=16a2
|AB|+|AC|=12-4a
|AB|-|AC|=2a
…（3分）
解之得a=1，∴c=2，b=
3
．
∴（1）雙曲線(xiàn)E的漸近線(xiàn)方程y=±
3
x；
（2）雙曲線(xiàn)E的方程為x2-
y2
3
=1．…（5分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，一直角三角形ABC，∠C=90°，B、C在x軸上且關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，D在邊BC上，BD=3DC，△ABC的周長(zhǎng)為12．若一雙曲線(xiàn)E以B、C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線(xiàn)E的方程；
（2）若一過(guò)點(diǎn)P（m，0）（m為非零常數(shù)）的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)E相交于不同于雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且
MP
=λ
PN
，問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使
BC
⊥(
GM
-λ
GN
)？若存在，求出所有這樣定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•蕪湖二模）如圖，直角坐標(biāo)系XOY中，點(diǎn)F在x軸正半軸上，△OFG的面積為S．且
OF
•
FG
=1，設(shè)|
OF
|=c(c≥2)，S=
3
4
c．
（1）以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，求點(diǎn)G的縱坐標(biāo)．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)|
OG
|取最小值時(shí)，求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)A、B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓的下頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓E上（與點(diǎn)A、B均不重合），點(diǎn)D在直線(xiàn)PA上，若直線(xiàn)PB的方程為，且
AP
•
CD
=0，試求CD直線(xiàn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•藍(lán)山縣模擬）如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，一直角三角形ABC，∠=90°，B、C在x軸上且關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，D在邊BC上，BD=3DC，△ABC的周長(zhǎng)為12．若一雙曲線(xiàn)E以B、C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線(xiàn)E的方程；
（ 2）若一過(guò)點(diǎn)O（m，0）（m為非零常數(shù)）的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)E相交于不同于雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且
MP
=λ
PN
，問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使
BC
⊥(
GM
-λ
GN
)？若存在，求出所有這樣定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，A1，A2分別是橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，圓A1的半徑為a，過(guò)點(diǎn)A2作圓A1的切線(xiàn)，切點(diǎn)為P，在x軸的上方交橢圓于點(diǎn)Q．則
PQ
QA2
=
 
．

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