Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，一直角三角形ABC，∠=90°，B、C在x軸上且關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，D在邊BC上，BD=3DC，△ABC的周長(zhǎng)為12．若一雙曲線E以B、C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線E的方程；
（ 2）若一過(guò)點(diǎn)O（m，0）（m為非零常數(shù)）的直線與雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且

MP

=λ

PN

，問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)？若存在，求出所有這樣定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線E的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1  (a＞0，b＞0)，由B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．BD=3DC，得c+a=3（c-a），由此能求出雙曲線E的方程．
（2）設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)G（t，0），使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)．設(shè)直線l的方程為x-m=ky，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由

MP

=λ

PN

，得y₁+λy₂=0．由此能推導(dǎo)出在x軸上存在定點(diǎn)G(

1

m

，0)，使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)．

解答：（本小題滿分13分）
解：（1）設(shè)雙曲線E的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1  (a＞0，b＞0)，
則B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．
由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a．
∴

|AB|2-|AC|2=16a2 |AB|+|AC|=12-4a |AB|-|AC|=2a.

…（3分）
解之得a=1，∴c=2，  b=

3

．
∴雙曲線E的方程為x2-

y2

3

=1．…（5分）
（2）設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)G（t，0），使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)．
設(shè)直線l的方程為x-m=ky，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

MP

=λ

PN

，得y₁+λy₂=0．
即λ=-

y1

y2

①…（6分）
∵

BC

=(4，0)，

GM

-λ

GN

=(x1-t-λx2+λt， y1-λy2)，
∴

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)?x₁-t=λ（x₂-t）．
即ky₁+m-t=λ（ky₂+m-t）．②…（8分）
把①代入②，得2ky₁y₂+（m-t）（y₁+y₂）=0③…（10分）
把x-m=ky代入x2-

y2

3

=1，并整理得（3k²-1）y²+6kmy+3（m²-1）=0，
其中3k²-1≠0且△＞0，即k2≠

1

3

且3k²+m²＞1．
y1+y2=

-6km

3k2-1

，  y1y2=

3(m2-1)

3k2-1

．…（11分）
代入③，得

6k(m2-1)

3k2-1

-

6km(m-t)

3k2-1

=0，
化簡(jiǎn)得 kmt=k．
當(dāng)t=

1

m

時(shí)，上式恒成立．
因此，在x軸上存在定點(diǎn)G(

1

m

，0)，使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程的求法，考查定點(diǎn)坐標(biāo)是否存在的探索，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．