Question

（2011•南昌三模）已知數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1(n＞1)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)A_n為數(shù)列{

4an-1

4an

}的前n項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式An

4an+1

＜a對(duì)一切n∈N^*都成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先求a₂，然后求出a_n+1的表達(dá)式，兩式作差可得a_n+1-a_n=

1

n

an（n≥2），從而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令 g(n)=An

2n+1

=

2n+1

(1-

1

4a1

)(1-

1

4a2

)…(1-

1

4an

)，然后判定g（n）的單調(diào)性，求出最大值，使a大于最大值即可．

解答：解：（1）∵a1=1，an=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1(n＞1)．
∴a₂=a₁=1
an+1=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1+

1

n

an(n＞1)
∴a_n+1-a_n=

1

n

an（n≥2）
∴

an+1

n+1

=

an

n

(n≥2)
∴

an

n

=

an-1

n-1

=

a2

2

=

1

2

∴an=

n

2

(n≥2)
∴an=

1   n=1 n 2   n≥2

（2）據(jù)已知 An=(1-

1

4a1

)(1-

1

4a2

)…(1-

1

4an

)，
則：g(n)=An

2n+1

=

2n+1

(1-

1

4a1

)(1-

1

4a2

)…(1-

1

4an

)，

g(n+1)

g(n)

=(1-

1

4an+1

)

2n+3

2n+1

=

(2n+1) 2n+3

(2n+2) 2n+1

≤1
故n＞1時(shí)，g（n）單調(diào)遞減，于是 [g(n)]max=g(2)=

9 5

16

又g（1）=

3 3

4

＞

9 5

16

=g（2）
要使不等式An

4an+1

＜a對(duì)一切n∈N^*都成立只需a＞

3 3

4

即可．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，以及恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．