(2012•懷柔區(qū)二模)對于給定數(shù)列{cn},如果存在實(shí)常數(shù)p,q使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立,我們稱數(shù)列{cn}是“T數(shù)列”.
(Ⅰ)若an=2n,bn=3•2n,n∈N*,數(shù)列{an}、{bn}是否為“T數(shù)列”?若是,指出它對應(yīng)的實(shí)常數(shù)p,q,若不是,請說明理由;
(Ⅱ)證明:若數(shù)列{an}是“T數(shù)列”,則數(shù)列{an+an+1}也是“T數(shù)列”;
(Ⅲ)若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+an+1=3t•2n(n∈N*),t為常數(shù).求數(shù)列{an}前2013項(xiàng)的和.
分析:(I)根據(jù)“T數(shù)列”的定義加以驗(yàn)證,可得{an}是“T數(shù)列”,對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為1和2;數(shù)列{bn}也是“T數(shù)列”,對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為2和0;
(II)若數(shù)列{an}是“T數(shù)列”,則存在實(shí)常數(shù)p、q,滿足an+1=pan+q、an+2=pan+1+q對于任意n∈N*都成立,兩式對應(yīng)相加即可證出數(shù)列{an+an+1}也是“T數(shù)列”,對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為p、2q;
(III)根據(jù)等式an+an+1=3t•2n(n∈N*),分別取n=2、4、…、2012,得到1006個(gè)等式.而S2013=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2010+a2011)+(a2012+a2013),將a1=2和前面1006個(gè)等式代入,結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可算出數(shù)列{an}前2013項(xiàng)的和的表達(dá)式.
解答:解:(Ⅰ)因?yàn)閍n=2n,則有an+1=2n+2=1×an+2(n∈N*),
所以數(shù)列{an}是“T數(shù)列”,對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為1和2.
因?yàn)閎n=3•2n,則有bn+1=3•2n+1=2×3•2n+1=2bn (n∈N*),
所以數(shù)列{bn}是“T數(shù)列”,對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為2和0---(4分)
(Ⅱ)若數(shù)列{an}是“T數(shù)列”,則存在實(shí)常數(shù)p、q,
使得an+1=pan+q對于任意n∈N*都成立,且有an+2=pan+1+q對于任意n∈N*都成立,
因此(an+1+an+2)=p(an+an+1)+2q對于任意n∈N*都成立,故數(shù)列{an+an+1}也是“T數(shù)列”.
對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為p、2q.---------------------(8分)
(Ⅲ)因?yàn)?nbsp;an+an+1=3t•2n(n∈N*),
則有a2+a3=3t•22,a4+a5=3t•23,…,a2010+a2011=3t•22010,a2012+a2013=3t•22012
故數(shù)列{an}的前2013項(xiàng)的和
S2013=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2010+a2011)+(a2012+a2013
=2+3t•22+3t•24+…+3t•22010+3t•22012=2+3t•
4(1-41006)
1-4
=2+t(22014-4).---------(13分)
點(diǎn)評(píng):本題給出“T數(shù)列”,要我們驗(yàn)證兩個(gè)數(shù)列是否為“T數(shù)列”,并根據(jù)題意求數(shù)列{an}的前2013項(xiàng)的和.著重考查了數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式等知識(shí),考查了轉(zhuǎn)化化歸與函數(shù)方程的思想,屬于中檔題.
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2
2
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titi+1
,則
t1t2
t2t3
+
t2t3
t3t4
+…+
t12t1
t1t2
=
6
3
-9
6
3
-9

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