設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)討論f(x)的極值.

所以f(-1)=2是極大值,f(1)=-2是極小值.

(2)曲線方程為y=x3-3x,點(diǎn)A(0,16)不在曲線上.

設(shè)切點(diǎn)為M(x0,y0),則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y0=x03-3x0.

因f′(x0)=3(x02-1),故切線的方程為y-y0=3(x02-1)(x-x0).

注意到點(diǎn)A(0,16)在切線上,有16-(x03-3x0)=3(x02-1)(0-x0),

化簡(jiǎn)得x03=-8,解得x0=-2.

所以切點(diǎn)為M(-2,-2),

切線方程為9x-y+16=0.

解:由已知得f′(x)=6x[x-(a-1)],

令f′(x)=0,解得x1=0,x2=a-1.

(1)當(dāng)a=1時(shí),f′(x)=6x2,f(x)在(-∞,+∞)上遞增.

當(dāng)a>1時(shí),f′(x)=6x[x-(a-1)].

f′(x)、f(x)隨x的變化情況如下表:

x

(-∞,0)

0

(0,a-1)

a-1

(a-1,+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

極大值

極小值

從上表可知,函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增;

在(0,a-1)上單調(diào)遞減;在(a-1,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知,當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)沒(méi)有極值.

當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值1,在x=a-1處取得極小值1-(a-1)3.

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2
x+2
,點(diǎn)A0表示原點(diǎn),點(diǎn)An=[n,f(n)](n∈N*).若向量
an
=
A0A1
+
A1A2
+…+
An-1An
,θn
an
i
的夾角[其中
i
=(1,0)]
,設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn,則
lim
n→∞
Sn
=
3
4
2
3
4
2

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設(shè)函數(shù)f(x)=
2x-3,x≥1
1-3x
x
,0<x<1
,若f(x0)=1,則x0等于( 。

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