Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx．
（1）若a=1，求該函數(shù)在定義域內(nèi)的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]內(nèi)時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=x-alnx的定義域?yàn)椋?，+∞）；
（1）若a=1，f（x）=x-lnx，求導(dǎo)從而確定最小值；
（2）求導(dǎo)f′（x）=1-a

1

x

=

x-a

x

，討論f（x）的單調(diào)性，化恒成立問(wèn)題為最值問(wèn)題即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x-alnx的定義域?yàn)椋?，+∞）；
（1）若a=1，f（x）=x-lnx，
f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
f（x）在（0，+∞）上先減后增，
故f_min（x）=f（1）=1-0=1；
（2）f′（x）=1-a

1

x

=

x-a

x

，
①當(dāng)a≤1時(shí)，f′（x）≥0，
f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
故f（x）≥0可化為f（1）≥0，
即1≥0，顯然成立；
②當(dāng)a≥2時(shí)，f′（x）≤0，
f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
故f（x）≥0可化為f（2）≥0，
即2-aln2≥0，
解得，a≤

2

ln2

=2log₂e；
故2≤a≤2log₂e；
③當(dāng)1＜a＜2時(shí)，
當(dāng)1≤x＜a時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)a≤x≤2時(shí)，f′（x）≥0；
f（x）在[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，2]上單調(diào)遞增；
故f（x）≥0可化為f（a）≥0，
即a-alna≥0，
解得，a≤e，
故1＜a＜2；
綜上所述，a≤2log₂e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．