Question

（本小題滿分14分）

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－1，），過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線l與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求直線l的方程以及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）是否存在過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，滿足·=？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

⑴橢圓C的方程為；

⑵切點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，). ⑶存在直線l₁滿足條件，其方程為y=x

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

（1）利用橢圓的性質(zhì)得到關(guān)于a,b,c的關(guān)系得到橢圓的方程。

（2）設(shè)出直線方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，以及向量的數(shù)量積的公式得到參數(shù)k的表達(dá)式，借助判別式大于零得到k的范圍。

⑴設(shè)橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），由題意，

得

解得a=4，b²=3，故橢圓C的方程為-----------------------4分

⑵因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y=k(x—2)+1.

由，得（3+4k²）x²—8k(2k—1)x+16k²—16ｋ—8=0.①

因?yàn)橹本�l與橢圓相切，所以Δ=［—8k(2k—1)］²—4(3+4k²)（16k²—16k—8）=0.

整理，得32(6k+3)=0，解得k=—.

所以直線l方程為y=—(x—2)+1=—x+2.

將k=—代入①式，可以解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，故切點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，).-----8分

⑶若存在直線l₁滿足條件，設(shè)其方程為y=k₁(x—2)+1，代入橢圓C的方程，得

(3+4k²₁)x²—8k₁(2k₁—1)x+16k²₁—16k₁—8=0.

因?yàn)橹本�l₁與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，

所以Δ=［—8k₁（2k₁—1）］²—4（3+4k²₁）(16k²₁—16k₁—8)=32(6k₁+3)＞0.

所以k₁＞—.

x₁+x₂=，x₁x_2=.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415313142452408/SYS201208241532135761815506_DA.files/image011.png">·=即（x₁—2）（x₂—2）+（y₁—1）（y₂—1）=，

所以（x₁—2）（x₂—2）（1+k²₁）=｜PM｜²=.即［x₁x₂—2（x₁+x₂）+4］（1+k²₁）=.

所以［—2·+4］（1+k²₁）=，

解得k₁=±.     因?yàn)閗₁＞—所以k₁₌.

于是存在直線l₁滿足條件，其方程為y=x--------------------14分