Question

已知橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)為（0，1），離心率為

2 2

3

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)為（0，1），知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，b=1，由e=

c

a

=

2 2

3

，知a=3，由此能求出橢圓方程．
（2）聯(lián)立方程組

x2 9 +y2=1 y=x+2

，得10x²+36x+27=0，由此利用弦長(zhǎng)公式能夠求出張段AB的長(zhǎng)．

解答：（本小題滿分10分）
解：（1）∵橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)為（0，1），
∴橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，b=1，…（2分）
∵e=

c

a

=

2 2

3

，

c2

a2

=

8

9

，∴得a=3，…（3分）
所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是：

x2

9

+y2=1．…（4分）
（2）聯(lián)立方程組

x2 9 +y2=1 y=x+2

，消去y得，10x²+36x+27=0．…（5分）
△=36²-4×10×27＞0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=-

18

5

，x1x2=

27

10

，…（7分）
所以|AB|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1y1

=

6

5

3

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．